Hvilke av de følgende setningene er sanne / falske? Begrunn svaret ditt. (i) R2 har uendelig mange ikke-null, riktige vektorgrupper. (ii) Hvert system med homogene lineære ligninger har en nullstilling.

Svar:

# #

# "(i) True." #

# "(ii) False." #

Forklaring:

# #

# "Bevis." #

# "(i) Vi kan konstruere et slikt sett av underrom:" #

# "1)" forall r i RR, "la:" qquad quad V_r = (x, r x) i RR ^ 2. #

# "Geometrisk," V_r "er linjen gjennom opprinnelsen til" RR ^ 2, "av skråningen ". # #

# "2) Vi vil kontrollere at disse delene begrunner påstanden (i)." #

# "3) Klart:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Kontroller at:" qquad qquad V_r "er et riktig underrom av" RR ^ 2. #

# "La:" qquad du, v i V_r, alpha, beta i RR. qquad qquad qquad quad "Bekreft at:" quad alpha u + beta v i V_r. #

# u, v i V_r rArr u = (x_1, rx_1), v = (x_2, r x_2); "for noen" x_1, x_2 i RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alfa u + beta v = alpha (x_1, rx_1) + beta (x_2, r x_2) #

xquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, rx_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

xquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) i V_r; qquad "med" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Så:" qquad qquad qquadu, v i V_r, alpha, beta i RR quad rArr quad alpha u + beta v i V_r. #

# "Således:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "er et underrom av" RR ^ 2. #

# "For å se at" V_r "er null, merk at:" #

(1, r) i V_r, "og" (1, r) ne (0, 0). # # ###############################################

# "For å se at" V_r "er riktig," "merk at" (1, r + 1)! I V_r: #

# (1, r + 1) i V_r rArr "(ved konstruksjon av" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "klart umulig." #

# "Således:" qquad qquad qquad V_r "er et ikke-nøyaktig, riktig underrom av" RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Vis nå at det er uendelig mange slike underrom" V_r. #

# "La:" qquad qquad r, s i RR. qquad qquad qquad quad "Vi vil vise:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Per definisjon:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) i V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) i V_s. #

# "Klart:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Således:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Så hver" r i RR "produserer et distinkt underrom" V_r. #

# "Dette, sammen med (1), gir:" #

# "Familien til underrom:" i RR, "er en uendelig familie" #

# "av ikke-null, riktige underrom av" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) Dette er faktisk enkelt. Hvis systemet er firkantet, og" #

# "koeffisientmatrise av systemet i invertible, vil det bare være" #

# "nullløsningen." #

# "Anta:" qquad qquad quad A "er en firkantet, inverterbar matrise." #

# "Vurder det homogene systemet:" #

# xquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Således som" A "er inverterbar:" #

# qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Således har det homogene systemet" A x = 0, "ikke en" # #

# "ikke-null løsning." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

Hvilke av de følgende setningene er sanne / falske? Gi grunner til svarene dine. 1. Hvis σ er en jevn permutasjon, så σ ^ 2 = 1.

False En jevn permutasjon kan brytes ned i et jevnt antall transposisjoner. For eksempel ((2, 3)) etterfulgt av ((1, 2)) er ekvivalent med ((1,2,3)) Så hvis sigma = ((1,2,3)) så er Sigma ^ 3 = 1, men sigma ^ 2 = ((1, 3, 2))! = 1

Uten grafer, hvordan bestemmer du om følgende system av lineære ligninger har en løsning, uendelig mange løsninger eller ingen løsning?

Et system med N lineære ligninger med N ukjente variabler som ikke inneholder lineær avhengighet mellom ligninger (med andre ord, dens determinant er ikke-null) vil ha en og en eneste løsning. La oss betrakte et system med to lineære ligninger med to ukjente variabler: Aks + By = C Dx + Ey = F Hvis paret (A, B) ikke er proporsjonalt med paret (D, E) (det vil si det er ikke et slikt tall k at D = kA og E = kB, som kan kontrolleres etter betingelse A * EB * D! = 0) så er det en og en løsning: x = (C * EB * F) / (A * EB * D) , y = (A * FC * D) / (A * EB * D) Eksempel: x + y = 3 x-2y = -3 Løs

Vis at ligningen x ^ 6 + x ^ 2-1 = 0 har nøyaktig en positiv rot. Begrunn svaret ditt. Navngi de teoremene som svaret ditt avhenger av, og egenskapene til f (x) som du må bruke?

Her er et par metoder ... Her er et par metoder: Descartes tegnstegn Gitt: f (x) = x ^ 6 + x ^ 2-1 Koeffisientene til dette sekstiske polynomet har tegn i mønsteret + + -. Siden det er en endring av tegn, forteller Descartes 'Signs Rule at denne ligningen har nøyaktig en positiv null. Vi finner også: f (-x) = f (x) = x ^ 6 + x ^ 2-1 som har samme mønster av tegn + + -. Derfor har f (x) også nøyaktig en negativ null. Vendingspunkter Gitt: f (x) = x ^ 6 + x ^ 2-1 Merk at: f '(x) = 6x ^ 5 + 2x = 2x (3x ^ 4 + 1) som har nøyaktig en reell null, av mangfold 1, nemlig ved x = 0 Siden den