Hva er linjens helling normal til tangentlinjen til f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) ved x = (15pi) / 8?

Svar:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktiv graf

Forklaring:

Det første vi må gjøre er å beregne #f '(x) # på #x = (15pi) / 8 #.

La oss gjøre dette begrepet etter sikt. For # Sek ^ 2 (x) # term, merk at vi har to funksjoner innebygd i hverandre: # X ^ 2 #, og #sec (x) #. Så, vi må bruke en kjedestyre her:

# d / dx (sek (x)) ^ 2 = 2sek (x) * d / dx (sek (x)) #

#color (blå) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

For 2. term, må vi bruke en produktregel. Så:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = farge (rød) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + farge (rød) (d / dxcos (x-pi / 4)) (x) #

#color (blå) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Det kan hende du lurer på hvorfor vi ikke brukte en kjederegel for denne delen, siden vi har en # (x - pi / 4) # inne i cosinus. Svaret er vi implisitt gjorde, men vi ignorert det. Legg merke til hvordan avledet av # (x - pi / 4) # er bare 1? Derfor multipliserer det på, endrer ikke noe, så vi skriver det ikke ut i beregninger.

Nå setter vi alt sammen:

(x-pi / 4)) = farge (fiolett) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Se på skiltene dine.

Nå må vi finne hellingen til linjen som er tangent til #f (x) # på #x = (15pi) / 8 #. For å gjøre dette, plugger vi nettopp denne verdien inn i #f '(x) #:

#f '(15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin (15pi) / 8-pi / 4)) = farge (fiolett) (~~ -6.79) #

Men det vi ønsker er ikke linjen tangent til f (x), men linjen normal til det. For å få dette, tar vi bare den negative gjensidige av skråningen over.

#m_ (norm) = -1 / -15,78 farge (fiolett) (~ ~ 0.015) #

Nå passer vi bare inn i punkthellingsform:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Ta en titt på denne interaktive grafen for å se hvordan dette ser ut!

Håper det hjalp:)