Hva er ligningen av tangentlinjen til f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) ved x = -2?

Svar:

Finne #f (-2) # og #f '(- 2) # bruk deretter tangentlinjeprøven.

Tangenes likning er:

# Y = 167.56x + 223,21 #

Forklaring:

#f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

Finn derivatfunksjonen:

#f '(x) = (14x ^ 3)' - (4x ^ 2e ^ (3x)) '#

#f '(x) = 14 (x ^ 3)' - 4 (x ^ 2) 'e ^ (3x) + 4x ^ 2 (e ^ (3x))' #

#f '(x) = 14 * 3x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * e ^ (3x) * (3x)' #

#f '(x) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * e ^ (3x) * 3 #

#f '(x) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 12 x ^ 2 * e ^ (3x) #

#f '(x) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

Finne #f (-2) #

#f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

#f (-2) = 14 * (- 2) ^ 3-4 * (- 2) ^ 2e ^ (3 * (- 2)) #

#f (-2) = 32e ^ (- 6) -112 #

#f (-2) = 111,92 #

og #f '(- 2) #

#f '(x) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

#f '(- 2) = 42 * (- 2) ^ 2-8 * (- 2) e ^ (3 * (- 2)) 1 + 6 * (- 2) #

#f '(- 2) = 168-176e ^ (- 6) Antall

#f '(- 2) = 167,56 #

Nå er derivatdefinisjonen:

#f '(x) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

Hvis # X_0 = -2 #

#f '(- 2) = (y-f (-2)) / (x - (- 2)) #

# 167,56 = (y-111,92) / (x + 2) #

# 167,56 (x + 2) = y-111,92 #

# Y = 167.56x + 167,56 * 2 + 111,92 #

# Y = 167.56x + 223,21 #

graf {14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) -227, 254, -214,3, 26,3}

Som du kan se over, øker grafen med stor hastighet for #X <0 # så den store bakken er faktisk berettiget.

Merk: Hvis du ikke har lov til å bruke en kalkulator, må du bare overføre #E ^ (- 6) # hele tiden. Husk reglene for krefter:

#E ^ (- 6) = 1 / e ^ 6 #

#E ^ (- 6) * e ^ (- 6) = (e ^ (- 6)) ^ 2 = e ^ (- 6 * 2) = e ^ (- 12) #