Hellingen er
Minima (flertallet av "minimum") av glatte kurver forekommer ved vendepunkter, som per definisjon også er stasjonær punkter. Disse kalles stasjonære fordi på disse punktene er gradientfunksjonen lik
Et enkelt eksempel på bildet er
La f (x) = x-1. 1) Verifiser at f (x) er verken jevn eller merkelig. 2) Kan f (x) skrives som summen av en jevn funksjon og en merkelig funksjon? a) Hvis så, oppgi en løsning. Er det flere løsninger? b) Hvis ikke, bevis på at det er umulig.
La f (x) = | x -1 |. Hvis f var jevn, ville f (-x) være lik f (x) for alle x. Hvis f var merkelig, ville f (-x) være -f (x) for alle x. Vær oppmerksom på at for x = 1 f (1) = | 0 | = 0 f (-1) = | -2 | = 2 Siden 0 ikke er lik 2 eller til -2, er f ikke verken jevn eller merkelig. Kan f skrives som g (x) + h (x), hvor g er jevn og h er merkelig? Hvis det var sant, så g (x) + h (x) = | x - 1 |. Ring denne setningen 1. Erstatt x for -x. g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | Siden g er jevn og h er merkelig, har vi: g (x) - h (x) = | -x - 1 | Ring denne setningen. 2. Sett setninger 1 og 2 sammen, vi ser at g (x)
Hva er den normale linjen til tangentlinjen ved et punkt på en kurve?
Normal går gjennom samme punkt, men er vinkelrett på tamgent
Hvordan finner du alle punkter på kurven x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 hvor tangentlinjen er parallell med x-aksen, og punktet der tangentlinjen er parallell med y-aksen?
Tangentlinjen er parallell med x-aksen når hellingen (derav dy / dx) er null og den er parallell med y-aksen når hellingen (igjen, dy / dx) går til oo eller -oo Vi begynner med å finne dy / dx: x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) Nå dy / dx = 0 når nuimeratoren er 0, forutsatt at dette ikke også gjør nevneren 0. 2x + y = 0 når y = -2x Vi har nå to likninger: x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 y = -2x Løs (ved substitusjon) x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 3x ^