La f (x) = x-1. 1) Verifiser at f (x) er verken jevn eller merkelig. 2) Kan f (x) skrives som summen av en jevn funksjon og en merkelig funksjon? a) Hvis så, oppgi en løsning. Er det flere løsninger? b) Hvis ikke, bevis på at det er umulig.

La #f (x) = | x -1 | #.

Hvis f var jevn, da #f (-x) # ville være lik #f (x) # for alle x.

Hvis f var rart, da #f (-x) # ville være lik # -F (x) # for alle x.

Vær oppmerksom på at for x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Siden 0 ikke er lik 2 eller til -2, er f ikke verken like eller merkelig.

Kan f bli skrevet som #g (x) + h (x) #, hvor g er jevn og h er merkelig?

Hvis det var sant da #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Ring denne setningen 1.

Erstatt x ved -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Siden g er jevn og h er merkelig, har vi:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Ring denne setningen 2.

Setter setninger 1 og 2 sammen, vi ser det

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

Legg til disse for å få tak i

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Dette er faktisk enda siden #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Fra uttalelse 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Dette er virkelig rart, siden

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.