Hvordan finner du den nøyaktige verdien av cos58 ved hjelp av summen og forskjellen, doble vinkelen eller halvvinkelformlene?

Svar:

Det er akkurat en av røttene til #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # hvor #T_n (x) # er den # N #th Chebyshev Polynomial of the first kind. Det er en av de førtifem røttene av:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Forklaring:

# 58 ^ Krets # er ikke et flertall av # 3 ^ Krets #. Flere av # 1 ^ Krets # det er ikke mange eksemplarer av # 3 ^ Krets # er ikke konstruerbare med en straightedge og kompass, og deres trig-funksjoner er ikke resultatet av noen sammensetning av heltall ved hjelp av tillegg, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og firkantet rotering.

Det betyr ikke at vi ikke kan skrive ned noe uttrykk for #cos 58 ^ sirk #. La oss ta gradsskiltet for å bety en faktor # {2 pi} / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ sirk} = cos 58 ^ sirk + i sin 58 ^ sirk #

#e ^ {- i 58 ^ sirk} = cos 58 ^ sirk - i sin 58 ^ sirk #

# e ^ {i 58 ^ sirk} + e ^ {- i 58 ^ sirk} = 2 cos 58 ^ sirk #

#cos 58 ^ sirk = 1/2 (e ^ {i 58 ^ sirk} + e ^ {- i 58 ^ sirk}) #

Ikke så nyttig.

Vi kan prøve å skrive ned en polynomekvasjon en av sine røtter #cos 58 ^ sirk # men det kommer nok til å være for stort til å passe.

# Theta = 2 ^ Krets # er #180#av en sirkel. Siden #cos 88 ^ sirk = -cos 92 ^ sirk # det betyr #cos 2 ^ sirk # tilfredsstiller

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ sirk -44 theta) = cos (46 theta) #

La oss løse dette for # Theta # først. #cos x = cos a # har røtter # x = pm a + 360 ^ sirk k, # heltall # K #.

# 180 ^ sirk -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ sirk k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ sirk + 360 ^ sirk k #

#theta = 2 ^ sirk + 4 ^ sirk k eller theta = 90 ^ sirk + 180 ^ sirk k #

Det er mange røtter, og vi ser # Theta = 58 ^ Krets # blant dem.

Polynomene #T_n (x) #, kalt Chebyshev-polynomene av den første typen, tilfredsstiller #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. De har heltallskoeffisienter. Vi kjenner de første fra formler med dobbelt og trippel vinkel:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # så# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos theta quad quad # så# quad quad T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # så # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # så # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

Det er et fint rekursjonsforhold vi kan bekrefte:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

Så i teorien kan vi generere disse for like store # N # som vi bryr oss om.

Hvis vi lar # x = cos theta, # vår ligning

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

blir

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

Wolfram Alpha er glad for å fortelle oss hva de er. Jeg skal skrive likningen bare for å teste matematisk gjengivelse:

Ja, dette svaret blir lang, takk Socratic. Anway, en av røttene til det 46. grads polynomet med heltallskoeffisienter er # cos 58 ^ sirk #.

To vinkler danner et lineært par. Målet på den mindre vinkelen er en halv måling av den større vinkelen. Hva er graden måling av den større vinkelen?

120 ^ @ Vinkler i et lineært par danner en rett linje med en total grad måling på 180 ^ @. Hvis den mindre vinkelen i paret er en halv måling av den større vinkelen, kan vi relatere dem som sådan: Mindre vinkel = x ^ @ Større vinkel = 2x ^ @ Siden summen av vinklene er 180 ^ @, kan vi si at x + 2x = 180. Dette forenkler å være 3x = 180, så x = 60. Således er den større vinkelen (2xx60) ^, eller 120 ^ @.

Hvordan finner du den nøyaktige verdien av cos 36 ^ @ ved hjelp av summen og forskjellen, doble vinkelen eller halvvinkelformlene?

Allerede besvart her. Du må først finne sin18 ^ @, for hvilke detaljer er tilgjengelige her. Da kan du få cos36 ^ @ som vist her.

To vinkler er supplerende. Den større vinkelen er dobbelt så stor som den mindre vinkelen. Hva er målet for den mindre vinkelen?

60 ^ o Vinkel x er dobbelt så stor som Vinkel y Som de er tillegg, legger de opp til 180 Dette betyr at; x + y = 180 og 2y = x Derfor y + 2y = 180 3y = 180 y = 60 og x = 120