Hvilken type konisk del har ligningen 9y ^ 2 - x ^ 2 - 4x + 54y + 68 = 0?

# 9y ^ 2-x ^ 2-4 x + 54y + 68 = 0 # vil ha en hyperbola for grafen sin.

Hvordan vet jeg? Bare en rask sjekk av koeffisientene på # X ^ 2 # og # Y ^ 2 # vilkårene vil fortelle …

1) Hvis koeffisientene er begge samme tall og samme tegn, vil figuren være en sirkel.

2) Hvis koeffisientene er forskjellige tall, men samme tegn, vil figuren være en ellipse.

3) Hvis koeffisientene er av motsatte tegn, vil grafen være en hyperbola.

La oss "løse" det: # -1 (x ^ 2 + 4x) + 9 (y ^ 2 + 6y) = -68 #

Legg merke til at jeg allerede har utregnet de ledende koeffisientene, og samlet sammen vilkårene som begge har samme variabel.

# -1 (x ^ 2 + 4x + 4) +9 (y ^ 2 + 6y + 9) = -68 + -1 (4) + 9 (9) #

I dette trinnet fullførte jeg torget ved å legge til 4 og 9 inne i parentesene, men da ble det lagt til den andre siden, disse tallene multiplisert med de utregnede tallene -1 og 9.

# 1 (x + 2) ^ 2 + 9 (y + 3) ^ 2 = 9 # Skriv omskriv på skjemaer til venstre.

# -1 (x + 2) ^ 2/9 + (y + 3) ^ 2/1 = 1 # som bare ser vanskelig ut … så jeg vil endre rekkefølgen og få den til å se ut som subtraksjon:

# (y + 3) ^ 2- (x + 2) / 9 = 1 #

Det var det jeg ønsket å se; Jeg kan fortelle hva midten av hyperbola er (-2, -3), hvor langt å flytte fra sentrum for å komme til vertices (opp og ned 1 enhet siden y-termen er delt med 1) og asymptotens helling (#+-1/3#). Den "flatness" av denne skråningen, i tillegg til den oppadrettede og nedadgående åpningen av kurvene, vil gjøre denne grafen ganske bred åpen.