Hva er quaternions?

Svar:

En slags tall som multiplikasjon ikke generelt er commutative.

Forklaring:

Ekte tall (# RR #) kan representeres av en linje - et endimensjonalt rom.

Komplekse tall (# CC #) kan representeres av et plan - et todimensjonalt rom.

Quaternions (H) kan representeres av et fire-dimensjonalt rom.

I vanlige aritmetiske tall tilfredsstiller følgende regler:

Addisjon

Identitet: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Omvendt: #AA en EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

assosiativitet: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Commutativity: #AA a, b: a + b = b + a #

multiplikasjon

Identitet: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Inverse of non-zero: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

assosiativitet: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Commutativity: #color (rød) (AA a, b: a * b = b * a) #

Sammen

Distributivity: # ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#COLOR (hvit) () #

Disse reglene virker for settet av rasjonelle tall # QQ #, settet med ekte tall # RR # og de komplekse tallene # CC # og definer hva som kalles a felt - Et sett utstyrt med tilsetnings- og multiplikasjonsoperasjoner som tilfredsstiller disse reglene.

Quaternions (H) er det som kalles a skrå felt eller associativ divisjon algebra - Et sett utstyrt med tilsetnings- og multiplikasjonsoperasjoner som tilfredsstiller alle disse betingelsene, bortsett fra kommutativiteten til multiplikasjon.

Å være også a #4# dimensjonalt vektorrom over Reals, er de den største assosiative divisjonalgebra over Reals, de eneste andre to er # RR # og # CC #.

Bortsett fra Real-aksen, kalles enhetene på de andre tre aksene #Jeg#, # J # og # K #. De er alle firkantede røtter av #-1#.

Disse tre imaginære enhetene tilfredsstiller følgende betingelser:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Quaternions kan representeres av # 2xx2 # matriser med komplekse verdier eller av # 4xx4 # matriser med ekte verdier.

De har søknader i mekanikk og teoretisk fysikk.

#COLOR (hvit) () #

fotnote

Legg merke til at jeg sa assosiativ divisjonalgebra. Utover Quaternions er de like fremmede Octonions som faller kravet om at multiplikasjon er assosiativ.