Hva er int (cos (x)) ^ 4 dx?

Svar:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + synd (4x) #

Forklaring:

Selv om det i utgangspunktet ser ut til å være en veldig irriterende integral, kan vi faktisk utnytte trigidentiteter for å bryte denne integral ned i en serie enkle integraler som vi er mer kjent med.

Identiteten vi skal bruke er:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Dette lar oss manipulere vår ligning som sådan:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Vi kan nå bruke vår regel igjen for å eliminere cos ^ 2 (2x) inne i parentesen:

# 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2 + 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3 + 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Nå har vi faktisk et ganske enkelt integrasjonsproblem, vi kan distribuere integralet i vår parentetiske slik at:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Hver av disse trigintegralene håndteres med den enkle regelen som #int cos (økse) dx = 1 / a synd (økse) #.

Og dermed, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 synd (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + synd (4x) #

Vis at cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jeg er litt forvirret hvis jeg gjør Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) og cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), det blir negativt som cos (180 ° -teta) = - costheta in den andre kvadranten. Hvordan går jeg med å bevise spørsmålet?

Se nedenfor. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Hva er int (sin x) / (cos ^ 2x + 1) dx?

Int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = -arctan (cos (x)) + C Vi vil introdusere en u-substitusjon med u = cos (x). Deretter vil du være -in (x), slik at vi deler det gjennom å integrere med hensyn til u: int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int avbryt (sin (x)) / (1 + u ^ 2) * 1 / (- avbryt (sin (x))) dx = -int 1 / (1 + u ^ 2) du Dette er den velkjente arctan integral, som betyr at resultatet er: -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -arctan (u) + C Vi kan erstatte u = cos (x) for å få svaret i form av x: -arctan (cos (x)) + C

Hva er integralet av int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Vi kan bruke substitusjon for å fjerne cos (x). Så, la oss bruke synd (x) som vår kilde. u = sin (x) Hvilket betyr at vi vil få, (du) / (dx) = cos (x) Finne dx vil gi, dx = 1 / cos (x) * du Nå erstatter det opprinnelige integralet med substitusjonen, Vi kan avbryte cos (x) her, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Nå settes inn for deg, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C