Hvordan finner du int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx ved hjelp av partielle fraksjoner?

Svar:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Forklaring:

La # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # være = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Utvide høyre side, får vi

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Tilsvarende får vi

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

dvs #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

eller #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

eller # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

tilsvarer koeffisienten på x til 0 og likestillingskonstanter, får vi

#A + B = 3 # og

# -2A + B = 0 #

Løsning for A & B, får vi

#A = 1 og B = 2 #

Ved å erstatte integrering får vi

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1/2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Hvordan integrerer du int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) ved hjelp av partielle fraksjoner?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Vi må finne A, B, C slik at 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) for alle x. Multipliser begge sider med x ^ 2 (2x-1) for å få 1 = Akse (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Axe + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Og dermed har vi A = -2, B = 1, C = 4. Ved å erstatte dette i den opprinnelige ligningen får vi 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Integrer den termen med termen int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx for å få 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C

Hvordan integrerer du int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) ved hjelp av partielle fraksjoner?

Du må dekomponere (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) som en delfraksjon. Du ser etter a, b, c i RR slik at (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / -6) + c / (x + 4). Jeg skal vise deg hvordan du finner en eneste, fordi b og c skal finnes på samme måte. Du multipliserer begge sider med x + 3, dette vil gjøre det forsvinne fra nevnen til venstre og få det til å vises ved siden av b og c. (x-9) / (x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / -9) / (x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Du vurderer dette ved x-3 for å få b og c til å fors

Hvordan finner du int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx ved hjelp av partielle fraksjoner?

Du prøver å dele den rasjonelle funksjonen i en sum som vil være veldig enkel å integrere. Først av alt: x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1). Delvis fraksjonskomponering gjør det mulig å: (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x-1)) = a / x + b / (x-1) med a, b i RR som du må finne. For å finne dem må du multiplisere begge sider av en av polynomene til venstre for likestillingen. Jeg viser et eksempel til deg, den andre koeffisienten er funnet på samme måte. Vi finner en: vi må multiplisere alt med x for å få den andre koeffisienten til