Hvordan finner du int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx ved hjelp av partielle fraksjoner?

Hvordan finner du int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx ved hjelp av partielle fraksjoner?
Anonim

Svar:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Forklaring:

La # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # være = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Utvide høyre side, får vi

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Tilsvarende får vi

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

dvs #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

eller #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

eller # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

tilsvarer koeffisienten på x til 0 og likestillingskonstanter, får vi

#A + B = 3 # og

# -2A + B = 0 #

Løsning for A & B, får vi

#A = 1 og B = 2 #

Ved å erstatte integrering får vi

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1/2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #