Hvordan integrerer du int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) ved hjelp av partielle fraksjoner?

Svar:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Forklaring:

Vi må finne # A, B, C # slik at

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) #

for alle # X #.

Multipliser begge sider av # X ^ 2 (2x-1) # å få

# 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = 2AX ^ 2AX + 2BX-B + C x ^ 2 #

# 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) x-B #

Tilsvarende koeffisienter gir oss

# {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} #

Og dermed har vi # A = -2, B = 1, C = 4 #. Ved å erstatte dette i den opprinnelige ligningen får vi

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 #

Integrer den nå med termen

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

å få

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Svar:

Svaret er # = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

Forklaring:

Utfør dekomponeringen i partielle fraksjoner

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x ^ 2 + b / x + C / (2x-1) #

# = (A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2)) / (x ^ 2 (2x-1)) #

Denominatorene er de samme, sammenligner tellerne

# 1 = A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2) #

La # X = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

La # X = halvdel #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

Koeffisienter for # X ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = -C / 2 = -4 / 2 = -2 #

Derfor, # 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 / (2x-1) #

Så, # int (1DX) / (x ^ 2 (2x-1)) = - int (1DX) / x ^ 2-int (2DX) / x + int (4DX) / (2x-1) #

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #