Hvordan integrerer du int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) ved hjelp av partielle fraksjoner?

Svar:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Forklaring:

Sett opp ligningen for å løse for variablene A, B, C

(xx ^ 2 + 6x-2) / (x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / 1) ^ 2) dx #

La oss løse for A, B, C først

# (4x ^ 2 + 6x-2) / (x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (X-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Forenkle

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / (x-1) (x + 1) ^ 2) = (Aks ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

Sett på nytt vilkårene til høyre

# (4x ^ 2 + 6x-2) / (x-1) (x + 1) ^ 2) = (Axe ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) 1) ^ 2) #

la oss sette opp likningene for å løse for A, B, C ved å matche de numeriske koeffisientene for venstre og høyre termer

# A + B = 4 "" #første ligning

# 2A + C = 6 "" #andre ligning

# A-B-C = -2 "" #tredje ligning

Samtidig løsning med andre og tredje likning resulterer i

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #fjerde ligning

Bruk nå den første og fjerde ligningen

# 3A-B = 4 "" #fjerde ligning

# 3 (4-B) -B = 4 "" #fjerde ligning

# 12-3B-B = 4 #

# -4b = 4-12 #

# -4b = -8 #

# B = 2 #

Løs for A å bruke # 3A-B = 4 "" #fjerde ligning

# 3A-2 = 4 "" #fjerde ligning

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Løs C ved hjelp av # 2A + C = 6 "" #andre ligning og # A = 2 # og # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #andre ligning

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Vi utfører nå vår integrasjon

(x x 1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x 1) ^ 2) dx #

(xx1) + (xx) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * 1) ^ (- 2)) dx #

(x x 1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

(x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Gud velsigne ….. Jeg håper forklaringen er nyttig.

Hvordan integrerer du int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) ved hjelp av partielle fraksjoner?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Vi må finne A, B, C slik at 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) for alle x. Multipliser begge sider med x ^ 2 (2x-1) for å få 1 = Akse (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Axe + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Og dermed har vi A = -2, B = 1, C = 4. Ved å erstatte dette i den opprinnelige ligningen får vi 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Integrer den termen med termen int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx for å få 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C

Hvordan integrerer du int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) ved hjelp av partielle fraksjoner?

Du må dekomponere (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) som en delfraksjon. Du ser etter a, b, c i RR slik at (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / -6) + c / (x + 4). Jeg skal vise deg hvordan du finner en eneste, fordi b og c skal finnes på samme måte. Du multipliserer begge sider med x + 3, dette vil gjøre det forsvinne fra nevnen til venstre og få det til å vises ved siden av b og c. (x-9) / (x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / -9) / (x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Du vurderer dette ved x-3 for å få b og c til å fors

Hvordan integrerer du int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) ved hjelp av partielle fraksjoner?

= int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x