Hvordan finner du int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx ved hjelp av partielle fraksjoner?

Svar:

Du prøver å dele den rasjonelle funksjonen i en sum som vil være veldig enkel å integrere.

Forklaring:

Først av alt: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Delvis fraksjon dekomponering lar deg gjøre det:

(x + 1) / x (x + 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = / x + b / (x-1) # med # a, b i RR # som du må finne.

For å finne dem må du multiplisere begge sider av en av polynomene til venstre for likestillingen. Jeg viser et eksempel til deg, den andre koeffisienten er funnet på samme måte.

Vi skal finne #en#: Vi må multiplisere alt ved # X # for å få den andre koeffisienten til å forsvinne.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) /.

#x = 0 iff -1 = a #

Du gjør det samme for å finne # B # (du multipliserer alt ved # (X-1) # så velger du #x = 1 #), og du finner ut det #b = 1 #.

Så # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, noe som innebærer det #int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs x-1) - lnabsx #

Hvordan integrerer du int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) ved hjelp av partielle fraksjoner?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Vi må finne A, B, C slik at 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) for alle x. Multipliser begge sider med x ^ 2 (2x-1) for å få 1 = Akse (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Axe + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Og dermed har vi A = -2, B = 1, C = 4. Ved å erstatte dette i den opprinnelige ligningen får vi 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Integrer den termen med termen int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx for å få 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C

Hvordan finner du int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx ved hjelp av partielle fraksjoner?

Ln (1 + x) / (1 - 2x)) + C La 3 / (1 + x) * (1 - 2x)) være = (A / (1 + x) + B / ) Utvidelse av høyre side, vi får (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / (1 + x) * (1 - 2x)) dvs. A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 eller A - 2Ax + B + Bx = 3 eller (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 tilsvarer koeffisienten fra x til 0 og likeverdige konstanter, får vi A + B = 3 og -2A + B = 0 Løsning for A & B, vi får A = 1 og B = 2 Ved integrering får vi int 3 / (1 + x) * (1 - 2x)) dx = int Dx = int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx = ln (1 + x) + 2

Hvordan integrerer du int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) ved hjelp av partielle fraksjoner?

Du må dekomponere (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) som en delfraksjon. Du ser etter a, b, c i RR slik at (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / -6) + c / (x + 4). Jeg skal vise deg hvordan du finner en eneste, fordi b og c skal finnes på samme måte. Du multipliserer begge sider med x + 3, dette vil gjøre det forsvinne fra nevnen til venstre og få det til å vises ved siden av b og c. (x-9) / (x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / -9) / (x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Du vurderer dette ved x-3 for å få b og c til å fors