Hvordan finner du extrema for g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Svar:

#G (x) # har ikke noe maksimum og et globalt og lokalt minimum i # x = -1 #

Forklaring:

Noter det:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Så funksjonen

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

er definert for hver #x i RR #.

Foruten som #f (y) = sqrty # er en monotone økende funksjon, så noen ekstrem for #G (x) # er også en ekstrem for:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Men dette er et andreordspolynom med ledende positiv koeffisient, derfor har den ikke noe maksimum og et enkelt lokalt minimum.

Fra #(1)# vi kan lett se det som:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

og:

# X + 1 = 0 #

bare når # x = -1 #, deretter:

#f (x)> = 4 #

og

#f (x) = 4 #

bare for # x = -1 #.

Følgelig:

#g (x)> = 2 #

og:

#g (x) = 2 #

bare for # x = -1 #.

Vi kan konkludere med det #G (x) # har ikke noe maksimum og et globalt og lokalt minimum i # x = -1 #

#G (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, # X ##i## RR #

Vi trenger # X ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ## X ##i## RR #:

#G '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (X + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#G '(x) = 0 # #<=># # (X = -1) #

• Til #X <-1 # vi har #G '(x) <0 # så # G # er strengt avtagende i # (- oo, -1 #

• Til #X> ##-1# vi har #G '(x)> 0 # så # G # er strengt økende i # - 1, + oo) #

derav #G (x)> = g (1) = 2> 0 #, # AA ## X ##i## RR #

Som et resultat # G # har et globalt minimum på # X_0 = -1 #, #G (-1) = 2 #