Hva er den lokale ekstrem, om noen, av f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Svar:

#(0.14414, 0.05271)# er et lokalt maksimum

#(1.45035, 0.00119)# og #(-1.59449, -1947.21451)# er de lokale minimumene.

Forklaring:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# Dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Dette kvalifiserer ikke som en lokal ekstremt.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

For å løse røttene til denne kubiske funksjonen bruker vi Newton-Raphson-metoden:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f (x_n)) #

Dette er en iterativ prosess som vil ta oss nærmere og nærmere roten til funksjonen. Jeg inkluderer ikke den lange prosessen her, men har kommet til den første roten, vi kan utføre lang divisjon og løse gjenværende kvadratisk enkelt for de to andre røttene.

Vi får følgende røtter:

# x = 0,144414, 1,45035 og -1,59449 #

Vi utfører nå en første avledetest og prøver verdier til venstre og høyre for hver rot for å se hvor derivatet er positivt eller negativt.

Dette vil fortelle oss hvilket punkt er maksimalt og som et minimum.

Resultatet vil bli som følger:

#(0.14414, 0.05271)# er et lokalt maksimum

#(1.45035, 0.00119)# og #(-1.59449, -1947.21451)# er de lokale minimumene.

Du kan se et av minimumene i grafen nedenfor:

Følgende visning viser maksimum og det andre minimumet: