Kan du hjelpe meg? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Svar:

# = (2e ^ (pi) 1) / 5 #

Forklaring:

Dette krever integrasjon av deler som følger. Grensene vil bli utelatt til hele slutten

# int (e ^ (2x) sinx) dx #

#COLOR (red) (I = Intu (dv) / (dx) dx) = uv-INTV (du) / (dv) dx #

# U = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2 x) dx #

# (Dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#COLOR (red) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

det andre integralet gjøres også av deler

# U = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2 x) dx #

# (Dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#COLOR (rød) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#COLOR (red) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (red) (I) #

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

Legg nå grensene inn

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (E ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) 1) / 5 #

Svar:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Forklaring:

Mens svaret som allerede er gitt, er det perfekt, jeg ville bare påpeke en enklere måte å komme frem til det samme svaret med en litt mer avansert tilnærming - det via komplekse tall.

Vi starter med den berømte relasjonen

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

hvor # I = sqrt {-1} #, og merk at dette betyr det

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) innebærer e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

hvor #Jeg er# Betegner den imaginære delen.

Så

(x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) # int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x}

# = Im (e ^ {2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ Jeg})#

# = Im ({ie ^ pi -1} / {2 + i} ganger {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + ie ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) ganger (-1) + e ^ pi ganger 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #