Summen av kvadratet på to påfølgende tall er 390. Hvordan formulerer du den kvadratiske ligningen for å finne de to tallene?

Svar:

Den kvadratiske ville være # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Dette har ingen heltall løsninger.

Det er heller ikke summen av kvadrater i noen to heltallene lik #390#.

Summen av kvadratene til to gaussiske heltall kan være 390.

Forklaring:

Hvis det minste av de to tallene er # N #, da er det større # N + 1 # og summen av deres torg er:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Så den kvadratiske ligningen vi ser ut til å løse er:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

eller hvis du foretrekker:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Legg merke til at for et heltall # N # summen # 2n ^ 2 + 2n + 1 # vil være rart, så det er ikke mulig for #390# å være summen av kvadrater av to consecutivie heltall.

Kan det uttrykkes som summen av kvadrater av noen to heltall?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# ikke firkantet

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# ikke firkantet

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# ikke firkantet

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# ikke firkantet

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# ikke firkantet

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# ikke firkantet

Nei - hvis vi går videre, vil den store resten etter å ha trukket plassen ikke være en av de vi har sjekket allerede.

#COLOR (hvit) () #

Kompleks fotnote

Er det et par gaussiske heltall summen av torget er #390#?

Ja.

Anta at vi kan finne et Gaussian heltall # M + ni #, den virkelige delen av torget er #195#. Da vil summen av kvadratet til det gaussiske heltallet og kvadratet av dets komplekse konjugat være en løsning.

Vi finner:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Så vi vil finne heltall #m, n # slik at # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Vi vil:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Derfor finner vi:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

En annen løsning, som kommer fra det faktum at hvert merkelig tall er forskjellen på firkanter av to påfølgende tall er:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #