Svar:
Vertex av # Y # er poenget #(-1.25, 26.875)#
Forklaring:
For en parabol i standardform: # Y = ax ^ 2 + bx + c #
toppunktet er punktet der #X = (- b) / (2a) #
NB: Dette punktet vil være maksimalt eller minimum av # Y # avhengig av tegn på #en#
I vårt eksempel: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2, b = 5, c = 30 #
#:. x_ "vertex" = (-5) / (2xx2) #
#= -5/4 = -1.25#
Erstatter for # X # i # Y #
#y_ "vertex" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #
# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #
#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#
#=26.875#
Vertex av # Y # er poenget #(-1.25, 26.875)#
Vi kan se dette punktet som et minimum av # Y # på grafen nedenfor.
graf {2x ^ 2 + 5x + 30 -43,26, 73,74, -9,2, 49,34}
For å finne vertexet, er det enkleste å gjøre (foruten å grabbe problemet) å konvertere ligningen til vertex form. For å gjøre det, bør vi "fullføre torget"
# Y = 2x ^ 2 + 5x + 30 #
den ledende koeffisienten må være #1#, så faktor ut #2#
# Y = 2 (x ^ 2 + 5 / 2x + 6) Antall
Vi må finne en verdi som endres # X ^ 2 + 5 / 2x + 6 # inn i et perfekt torg.
For å gjøre det, må vi ta mellom siktet, #5/2#, og dele det med #2#. Det gir oss #5/4#.
Vårt neste skritt er å firkantet resultatet: #(5/4)^2#, eller #25/16#
#- - - - - - - - - - - - - - #
Nå har vi vår manglende verdi: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # VENTE Vi kan ikke bare legge til noe på et problem! Men, hvis vi legger til noe og deretter trekker det umiddelbart, har vi teknisk sett ikke endret ligningen, siden de trekker ut til null
Så, vårt problem er egentlig # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #
La oss omskrive dette: # X ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 + 6-25 / 16 #
# X ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 # er et perfekt torg. La oss omskrive det i det formen: # (X '+ 5/4) ^ 2 #
La oss nå se på vår ligning igjen: # (X '+ 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #
La oss kombinere like-terms: # (X + 5/4) ^ 2 + 71/16 #
Nå har vi ligningen i vertexform, og vi kan finne toppunktet veldig enkelt herfra
# (X + farge (rød) (5/4)) ^ 2 + farge (gul) (71/16) #
# (- farge (rød) (x), farge (gul) (y)) #
# (- farge (rød) (5/4), farge (gul) (71/16)) #
Det er toppunktet.
For å sjekke vårt arbeid, la oss grave vår ligning og se toppunktet
diagrammet {y = 2x ^ 2 + 5x + 30}
Vi hadde rett! #-1.25# og #4.4375# tilsvarer #-25/16# og #71/16#
