En likemessig trekant har sider A, B og C med sider B og C som er like lange. Hvis side A går fra (1, 4) til (5, 1) og trekantens område er 15, hva er de mulige koordinatene til trekantets tredje hjørne?

Svar:

De to toppene danner en base med lengde 5, så høyden må være 6 for å få område 15. Foten er midtpunktet av punktene, og seks enheter i hver vinkelrett retning gir # (33/5, 73/10)# eller #(- 3/5, - 23/10) #.

Forklaring:

Pro tips: Prøv å holde seg til konvensjonen med små bokstaver for triangelsider og hovedpunkter for trekantspunkter.

Vi får to poeng og et område av en likestillingstriangel. De to punktene gjør basen, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Foten # F # av høyden er midtpunktet til de to punktene, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Retningsvektoren mellom punktene er #(1-5, 4-1)=(-4,3)# med størrelsen 5 som bare beregnet. Vi får retningsvektoren til vinkelrett ved å bytte punktene og negere en av dem: #(3,4)# som også må ha størrelse fem.

Siden området # A = frac 1 2 b h = 15 # vi får # H = (2 * 15) /b=6.#

Så vi må flytte #6# enheter fra # F # i enten vinkelrett retning for å få vårt tredje toppunkt som jeg har ringt # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) eller C = (- 3/5, - 23/10) #

Kryss av: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Det signerte området er da halvparten av kryssproduktet

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Det er slutten, men la oss generalisere svaret litt. La oss glemme at det er usammenhengende. Hvis vi har C (x, y), er området gitt av skoskelformelen:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Området er #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # eller # -11 = 3x + 4y #

Så hvis toppunktet C er på en av de to parallelle linjene, har vi en trekant av område 15.

La # PR = A # være siden av den ensomme trekant som har koordinater for sine endepunkter som følger

#Pto (1,4) # og #Rto (5,1) #

La koordinatene til det tredje punktet i trekanten være # (X, y) #.

Som # (X, y) # er like langt fra P og R kan vi skrive

# (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ + 2-2y 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => X = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

En gang til # (X, y) # å være ekvivalent fra P og R, falt den vinkelrette fra # (X, y) # til # PR # må bisect det, La denne foten av det vinkelrette eller midtpunktet av # PR # være # T #

Så koordinater av #Tto (3,2.5) #

Nå høyden av den enslige trekant

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

Og basen av den ensomme trekant

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Så ved problemet sitt område

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (X-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Etter 2 og 1 får vi

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6Y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6Y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (Y-2.5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

Så # y = 7,3 og y = -2,3 #

når # Y = 7.3 #

# X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

når # Y = -2,3 #

# X = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Så koordinatene til tredje punktet vil være

# (6.6,7.3) til "Q i figur" #

ELLER

# (- 0.6, -2.3) til "S i figur" #