Hva er kube rot av (sqrt3 -i)?

Jeg ville begynne med å konvertere nummeret til trigonometrisk form:

# Z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Kubusroten til dette nummeret kan skrives som:

# Z ^ (1/3) #

Nå med dette i tankene bruker jeg formelen for nte kraften til et komplekst tall i trigonometrisk form:

# Z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # gi:

# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Hvilken i rektangulær er: # 4.2-0.7i #

Jeg kan ikke helt enig med Giós svar, fordi det er ufullstendig og også (formelt) feil.

Den formelle feilen er i bruk av De Moivres formel med ikke-heltall eksponenter. De Moivre formel kan bare brukes på heltall eksponenter. Flere detaljer om dette på Wikipedias side

Der finner du en delvis utvidelse av formelen, for å håndtere # N #-røttene (det innebærer en ekstra parameter # K #): hvis # z = r (cos theta + i sin theta) #, deretter

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # hvor # k = 0, …, n-1 #.

En (og i en viss forstand de) veldig grunnleggende egenskap av komplekse tall er det # N #-røttene har … # N # røtter (løsninger)! Parameteren # K # (som varierer mellom #0# og # N-1 #, så # N # verdier) lar oss oppsummere dem i en enkelt formel.

Så kube røtter har tre løsninger og å finne bare en av dem er ikke nok: det er bare "#1/3# av løsningen ".

Jeg skal skrive mitt løsningsforslag nedenfor. Kommentarer er velkomne!

Som Gió korrekt foreslo, uttrykker det første trinnet # Z = sqrt {3} -i # i sin trigonometriske form #r (cos theta + i sin theta) #. Når det gjelder røtter, er den trigonometriske formen (nesten) alltid et nyttig verktøy (sammen med den eksponentielle). Du får:

# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Så # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Nå vil du beregne røttene. Med formelen beskrevet ovenfor får vi:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

hvor # k = 0, 1, 2 #. Så det er tre forskjellige verdier av # K # (#0#, #1# og #2#) som gir tre forskjellige komplekse røtter av # Z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (-pi / 18) + jeg synd (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# Z_0 #, # Z_1 # og # Z_2 # er de tre løsningene.

Den geometriske tolkningen av formelen for # N # røtter er veldig nyttige for å tegne løsningene i det komplekse flyet. Også plottet peker veldig pent egenskapene til formelen.

Først av alt kan vi se at alle løsningene har samme avstand # R ^ {1 / n} # (i vårt eksempel #2^{1/3}#) fra opprinnelsen. Så alle ligger på en radius omkrets # R ^ {1 / n} #. Nå må vi påpeke hvor å plassere dem på denne omkretsen. Vi kan omskrive argumenter fra sinus og cosinus på følgende måte:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / nk) + i sin (theta / n + (2pi) / nk)) #

Den "første" roten tilsvarer # K = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Alle de andre røttene kan hentes fra dette ved å legge til vinkelen # (2 pi) / n # rekursivt til vinkelen # Theta / n # i forhold til den første roten # Z_0 #. Så vi beveger oss # Z_0 # på omkretsen ved en rotasjon av # (2 pi) / n # radianer (# (360 °) / n #). Så poengene er plassert på kryssene til en vanlig # N #-Gon. Gitt en av dem, kan vi finne de andre.

I vårt tilfelle:

hvor den blå vinkelen er # Theta / n = -pi / 18 # og den magenta er # (2pi) / n = 2/3 pi #.