Hva er minimumsverdien av g (x) = x / csc (pi * x) på intervallet [0,1]?

Svar:

Det er en minimumsverdi på #0# ligger begge på # X = 0 # og # X = 1 #.

Forklaring:

For det første kan vi umiddelbart skrive denne funksjonen som

#G (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Minnes det #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Nå, for å finne minimumsverdier i et intervall, gjenkjenn at de kunne oppstå enten i intervallets endepunkter eller ved eventuelle kritiske verdier som forekommer i intervallet.

For å finne de kritiske verdiene i intervallet, sett avledet av funksjonen tilsvarer #0#.

Og for å skille mellom funksjonen, må vi bruke produktregel. Anvendelse av produktregelen gir oss

#G '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Hver av disse derivatene gir:

# D / dx (x) = 1 #

Og gjennom kjederegel:

# D / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Kombinere disse ser vi det

#G '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Dermed vil kritiske verdier oppstå når

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Vi kan ikke løse dette algebraisk, så bruk en kalkulator for å finne alle denne funksjonens nuller i det angitte intervallet #0,1#:

graf {sin (pix) + pixcos (pix) -l, 1,1, -3, 2,02}

De to kritiske verdiene i intervallet er på # X = 0 # og # Xapprox0.6485 #.

Så, vi vet at minimumsverdien av #G (x) # kan skje på #3# forskjellige steder:

• # X = 0 # eller # X = 1 #, intervallets endepunkter
• # X = 0 # eller # X = 0,6485 #, de kritiske verdiene i intervallet

Nå, plugg inn hver av disse mulige verdiene i intervallet:

# {(G (0) = 0, farger (rød) tekst (minimum)), (g (0,6485) = 0,5792, farge (blå) tekst (maks)), (g (1) = 0, farger (rød) tekst (minimum)):} #

Siden det er to verdier som er like lave, er det minima både på # X = 0 # og # X = 1 #. Vær oppmerksom på at selv om vi gikk gjennom å finne problemer med # X = 0,6485 #, det var ikke engang et minimum.

Gradert er #G (x) # på intervallet #0,1#:

graf {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Vær også oppmerksom på at minimumsverdien er #0#, siden #G (0) = g (1) = 0 #. Sondringen er det # X = 0 # og # X = 1 # er plasseringene av minima.