Hva er minimumsverdien av g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? på intervallet [-2,2]?

Svar:

Minimumsverdien er på # x = 1-sqrt 5 ca "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1 + sqrt 5) / (8) ca "-" 0,405 #.

Forklaring:

På et lukket intervall vil de mulige stedene for et minimum være:

• et lokalt minimum innenfor intervallet, eller
• Intervallets endepunkter.

Vi beregner og sammenligner derfor verdier for #G (x) # til enhver #x i "-2", 2 # det gjør #G '(x) = 0 #, så vel som på #X = "- 2" # og # X = 2 #.

Først: hva er #G '(x) #? Ved hjelp av kvotientregelen får vi:

#G '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2 x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (hvit) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (hvit) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Dette vil være null når telleren er null. Ved den kvadratiske formelen får vi

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 ca. {"-1.236", 3.236} #

Bare en av disse # X #-verdiene er i #'-2',2#, og det er # x = 1-sqrt 5 #.

Nå beregner vi:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0,375 #

2. (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (hvit) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5 + sqrt 5) / (5 + sqrt 5)) #

#color (hvit) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (hvit) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) ca. "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Sammenligning av disse tre verdiene av #G (x) #, vi ser det #g (1-sqrt 5) # er den minste. Så # - (1 + sqrt 5) / 8 # er minimumsverdien for #G (x) # på #'-'2, 2#.