Hvordan finner du den tredje graden Taylor-polynom for f (x) = ln x, sentrert ved a = 2?

Svar:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 1/24 (X-2) ^ 3 #.

Forklaring:

Den generelle formen for en Taylor utvidelse sentrert på #en# av en analytisk funksjon # F # er #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Her #f ^ ((n)) # er nth derivatet av # F #.

Den tredje graden av Taylor-polynomet er et polynom som består av de første fire (# N # som strekker seg fra #0# til #3#) vilkår for full Taylor-utvidelse.

Derfor er dette polynomet #f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, derfor #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Så den tredje graden Taylor-polynom er:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Nå har vi # A = 2 #, så vi har polynomet:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 1/24 (X-2) ^ 3 #.