Hva er en Taylor-utvidelse av e ^ (- 2x) sentrert ved x = 0?

Svar:

#E ^ (- 2 x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Forklaring:

Saken av en taylor-serie utvidet seg rundt #0# kalles en Maclaurin-serie. Den generelle formelen for en Maclaurin-serie er:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

For å utarbeide en serie for vår funksjon kan vi starte med en funksjon for # E ^ x # og bruk deretter det for å finne ut en formel for #E ^ (- 2x) #.

For å konstruere Maclaurin-serien må vi finne ut det nte derivatet av # E ^ x #. Hvis vi tar noen derivater, kan vi ganske raskt se et mønster:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

Faktisk er nth-derivatet av # E ^ x # er bare # E ^ x #. Vi kan plugge dette inn i Maclaurin-formelen:

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ OOE ^ 0 / (n!) X ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + X ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) … #

Nå som vi har en taylor-serie for # E ^ x #, vi kan bare erstatte alle # X #er med # -2x # å få en serie for #E ^ (- 2x) #:

#E ^ (- 2 x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

som er serien vi leter etter.