Hva er lokal ekstrem, om noen, av f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Svar:

Den eneste ekstrem er # X = 0,90322 … #, et funksjonsminimum

Men du må løse en kubisk ligning for å komme dit og svaret er ikke i det hele tatt "fint" - er du sikker på at spørsmålet er riktig skrevet inn? Jeg har også tatt med forslag til hvordan du nærmer deg svaret uten å gå inn i analysen som vises fullt under.

Forklaring:

1. Standard tilnærming peker oss i en mektig retning

Først beregne derivatet:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

så (ved kjede og kvotientregler)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (X- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Sett deretter dette til 0 og løse for # X #:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Vi har en kubisk ligning, som kan løses av radikaler, men dette er langt fra en enkel prosess. Vi vet at denne ligningen generelt vil ha tre røtter, men ikke at de alle vil være ekte, selv om minst en av dem vil være - at minst en vil vi kjenner fra Intermediate Value Theorem - http: // da. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - som forteller oss at fordi funksjonen går til uendelig i den ene enden og minus uendelig på den andre, må den ta alle verdier i mellom på et eller annet tidspunkt.

Trialling noen få enkle verdier (1 er ofte en informativ og rask verdi å prøve), vi ser at det er en rot et sted mellom 1/2 og 1, men vi finner ikke noen åpenbare løsninger for å forenkle ligningen med. Å løse en kubisk ligning er en lang og kjedelig prosess (som vi gjør nedenfor), så det er verdt å prøve å informere ens intuisjon før du gjør det. Trialling løsninger videre, finner vi at det er mellom 0,9 og 0,91.

2. Løs et forenklet problem

Funksjonen består av forskjellen på to termer, # F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # og # F_2 (x) = (x-4) / x #. For mye av omfanget av # X #, den første av disse vil dominere enormt, som andre termen vil være nær 1 for alle verdier av # X # vekk fra små verdier. La oss spørre hvordan de to individuelle vilkårene oppfører oss.

Første termin, # F_1 #

# F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# F_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Sett dette til null: # X = 3/4 for #. Dette er i området null av funksjonen som vi fant, men det er ikke veldig nær det.

#f (1) # er en parabol i # X #, en som berører # X # akse på # X = 3/4 for #. Dens derivat er en bratt rett linje med gradient 32 som krysser x-aksen på samme punkt.

Andre termin, # F_2 #

# F_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# F_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Sett dette til null: Det finnes ingen løsninger i # X #. Så # F_2 # har ingen ekstrem som egen funksjon. Det har imidlertid et punkt der det blåser opp til uendelig: # X = 0 #. Det går til positiv uendelighet ettersom den nærmer seg 0 fra den negative siden, og til negativ uendelighet når den nærmer seg 0 fra den positive siden. Langt fra dette punktet har kurven en tendens til verdien 1 på begge sider. # F_2 # er en hyperbola sentrert på # (X, y) = (0,1) #. Dens derivat er en kurve i to stykker, for negativ og positiv # X #. Det går til positiv uendelighet fra begge retninger på # X = 0 # og er alltid positiv.

Noter det # F_1 ^ '(x) <0 # for alle #X <0 #. Det kan ikke være noen kryss av # F_1 ^ '# og # F_2 ^ '# på den negative # X # akser. Over den positive # X # akse må det være nøyaktig ett skjæringspunkt - en kurve går fra mindre enn 0 til uendelig som # X # gjør det samme mens den andre går fra uendelig til 0. Ved anvendelse av mellomverdieretningen (se ovenfor) må de krysse nøyaktig en gang.

Så nå er vi sikre på at vi bare leter etter en løsning, men vi har ikke et godt svar for det.

3. Numerisk omtrentlig svaret

I profesjonelle situasjoner som krever løsningen av slike problemer, er ofte den raskeste måten å komme til hvor du trenger å få, å utføre en numerisk tilnærming. En ganske god en for å finne røtter av en funksjon er Newton-Raphson-metoden (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Som er: å finne en rot av en funksjon # F #, først gjett # X_0 # ved en rot, og deretter iterate rundt og rundt i henhold til denne formelen:

# X_1 = x_0-f (x_0) / (f (x_0)) #

# X_1 # er en bedre gjetning enn # X_0 #, og en gjentar bare dette til ønsket nøyaktighet er nådd.

Husk vår funksjon og dens derivat:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Så vi kan gjette 0,5 som vår rot, lage # X_0 = 0,5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. Og dermed # F_1 = 0,5 + 8/24 = 0,5 + 1/3 = 0,8333 …. #, faktisk et nærmere svar. Gjentatt gir oss en verdi på ca. 0,9 nevnt ovenfor.

Så vi kan finne svaret med vilkårlig presisjon, men det fulle svaret krever en analytisk løsning, noe som vi nevnte ovenfor ville være vanskelig. Så her går vi …

4. Løs hele problemet, sakte og smertefullt

La oss nå gjøre den fulle kubiske løsningen (du må elske algebra for å løse dette på riktig måte):

Først deles gjennom for å få ledende termen til å ha koeffisient 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

For det andre, gjør følgende substitusjon til variabelen # Y # å fjerne # X ^ 2 # begrep:

Erstatning # X = y + 1/4 #. Mer generelt, for en ligning av skjemaet # Ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, en ville erstatte # X = y-b / (3a) #. Hvis du arbeider gjennom algebraet, vil du se at dette alltid fører til # X ^ 2 # sikt å forsvinne. I dette tilfellet oppnår vi:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Utvid parentes, husk binomialteoremet:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Legg merke til at de to # Y ^ 2 # vilkårene utelukker nøyaktig ut)

# Y ^ 3-3 / 16y = 5. / 32 #

Vi har nå samme antall vilkår som vi gjorde før, fordi vi tidligere hadde nei # Y # begrep. Å miste # Y ^ 2 # sikt er et matematisk fortjeneste, løfte!

Tredje, gjør en annen substitusjon (Vietas substitusjon: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) for å gjøre dette til en kvadratisk:

Erstatning # Y = m + 1 / (16W) #. Mer generelt, for en ligning av skjemaet # Y ^ 3 + py = q #, denne substitusjonen er # Y = w-p / (3W) #.

# Y ^ 3-3 / 16y = 5. / 32 #

# (W + 1 / (16W)) ^ 3-3 / 16 (m + 1 / (16W)) = 5/32 #

# W ^ 3 + 3 / 16W + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16W-3 / 256w = 5. / 32 #

(Legg merke til at begge # W # og # 1 / w # vilkår avbryte nøyaktig)

# W ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# W ^ 6-5 / 32 W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Nå kan du vel spørre hva på nytt fordelen av dette er - vi har fiddlet med vår grad 3 ligning til vi har en grad 6 ligning, sikkert et tap … Men vi kan nå tenke på det som en kvadratisk ligning i # W ^ 3 #, og vi kan løse kvadratiske ligninger …)

For det fjerde, løs den kvadratiske ligningen for # W ^ 3 #

# W ^ 6-5 / 32 W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (W ^ 3) ^ 2-5 / 32 (v ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Bruk av kvadratisk ligning:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Vi har et svar! Nå må vi bare knytte den tilbake til vår opprinnelige variabel # X #.

Femte, konvertere tilbake til våre opprinnelige vilkår

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Ta terningen rot:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Husk hvordan vi relaterte # Y # til # W # Tidligere: # Y = m + 1 / (16W) #

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Nå # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Socratic ser ikke ut til å gi et minus-pluss motsatt av plus-minus, så vi må skrive det på denne måten)

Og dermed

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Hvis vi multipliserer ut minusskiltene i det andre store begrepet, kan vi se at vi får to identiske uttrykk, slik at vi kan slippe de kvadratiske pluss / minus tegnene og forenkle til

# Y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Endelig (!) Husker at vi satte # X = y + 1/4 #.

Og dermed

# X = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Sjette, utled hvor mange av disse røttene er ekte

De to uttrykkene i terningrøttene har hver en ekte rot og to konjugerte imaginære røtter. Et ekte tall #en# har tre terningrøtter # A ^ (1/3) #, # A ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# A ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Nå vet vi at begge uttrykkene i kubusrøttene er positive (varsel # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) Antall), og så de imaginære komponentene i andre og tredje verdier for # X # kan ikke summe til null.

Konklusjon

Derfor er det bare en ekte rot for # X # (som vi konkluderte langt over ved en enklere analyse), og dermed bare en lokal ekstreme på kurven du spør om, gitt av uttrykket

# X = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

eller, i desimal

# X = 0,90322 … #

Vi kan utlede at dette er et minimum av funksjonen ved at det bare er én ekstrem, og funksjonen har en tendens til positiv uendelighet i begge ender.