Hvordan tester du for konvergens for 1 / ((2n + 1)!)?

Svar:

I tilfelle du mente "test konvergensen av serie: #sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!) #'

Svaret er: det #COLOR (blå) "konvergerer" #

Forklaring:

For å finne ut, kan vi bruke forholdstesten.

Det er, hvis # "U" _ "n" # er den # N ^ "th" # løpetid i denne serien

Så hvis vi viser det #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" + 1) / "U" _N) <1 #

det betyr at serien konvergerer

På den andre om #lim_ (nrarr + oo) abs (("U" _ ("n" + 1)) / "U" _N)> 1 #

det betyr at serien avviker

I vårt tilfelle

# "U" _N = 1 / ((2n + 1)!) #

#' '# og

# "U" _ ("n" 1) = 1 / (2 (n + 1) 1!) = 1 / (2n + 3!) #

Derfor # "U" _ ("n" + 1) / "U" _N = 1 / ((2n + 3)!) ÷ 1 / ((2n + 1)!) = ((2n + 1)!) / ((2n + 3)!) #

#"Legg merke til det":#

# (2n + 3)! = (2n + 3) xx (2n + 2) xx (2n + 1)! #

Akkurat som: # 10! = 10xx9xx8! #

Vi trekker fra #1# hver gang for å få det neste

Så vi har, # "U" _ ("n" + 1) / "U" _N = ((2n + 1)!) / ((2n + 3) (2n + 2) (2n + 1)!) = 1 / ((2n + 3) (2n + 2)) #

Neste vi tester, #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" + 1) / "U" _N) #

# = Lim_ (nrarr + oo) abs (1 / ((2n + 3) (2n + 2))) = lim_ (nrarr + oo) 1 / ((4n ^ 2 + 10n + 6)) = 1 / (+ oo) = 0 "" # og #0# er mindre enn #1#

Derfor er det ganske trygt å konkludere med at serien #color (blå) "konvergerer"! #