Svar:
#(-9/14,3/28)#
Forklaring:
Vi begynner med # Y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Dette er i verken standardform eller vertexform, og jeg foretrekker alltid å jobbe med en av de to formene. Så mitt første skritt er å konvertere dette rotet over til standardform. Vi gjør det ved å endre ligningen til den ser ut # Y = ax ^ 2 + bx + c #.
Først tar vi oss av # (X + 1) ^ 2 #. Vi skriver om det som # (X + 1) * (x + 1) #, og forenkle bruk av distribusjon, som alle gir oss # X ^ 2 + x + x + 1 #, eller # X ^ 2 + 2x + 1 #.
Nå har vi # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Hvis vi forenkler # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, som etterlater oss med # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Nå kan vi kombinere like-terms. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # gir oss # 7x ^ 2 #, og # 6x + 3x # er lik # 9x #. Nå har vi # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, som er i standard form. Ikke bli for komfortabel skjønt, fordi vi skal konvertere at inn i vertex form på bare et minutt.
For å løse for vertex form, skal vi fullføre torget. Vi kunne også bruke den kvadratiske formelen eller grafen til ligningen vi har nå, men hvor er det gøy i det? Å fullføre torget er vanskeligere, men det er en metode som er verdt å lære, fordi det er ganske raskt, når du får tak i det. La oss komme i gang.
Først må vi få # X ^ 2 # av seg selv (ingen koeffisienter bortsett fra nummeret #1# tillatt). I vårt tilfelle må vi faktor a #7# fra alt. Det gir oss # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. Herfra må vi ta mellom siktet # (9 / 7x) # og del koeffisienten av #2#, som er #9/14#. Da firkantet vi at og vi har #81/196#. Vi legger til det i vår ligning, slik som: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
VENTE!!! Vi har bare sittende fast et tilfeldig tall i ligningen! Vi kan ikke gjøre det! Hvordan kan vi fikse dette? Vel, hva om vi bare … trukket tallet vi nettopp lagt til? Deretter har verdien ikke endret seg #(81/196-81/196=0)#, så vi har ikke brutt noen regler, ikke sant? Ok, la oss gjøre det.
Nå har vi # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Ok, vi er gode nå. Likevel bør vi fortsette å forenkle, fordi # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # er lang og tungvint. Så, #-81/196+3/7# er #3/196#, og vi kan omskrive # X ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # som # (X + 9/14) * (x + 9/14) #, eller # (X + 9/14) ^ 2 #. Du lurer kanskje på hvorfor jeg ikke kombinerte #3/196# med #81/196#. Vel, jeg vil lage et perfekt torg, som # (X + 9/14) ^ 2 #. Det er faktisk hele poenget med å fullføre torget. # X ^ 2 + 9/7 + 3/7 # var ikke faktorabel, så jeg fant nummeret ((9/2) / 2 ^ 2) som gjør det faktorabelt. Nå har vi et perfekt torg med de ubeleilige, ufullkomne tingene som er slått på på slutten.
Så har vi nå # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Vi er nesten ferdige, men vi kan fortsatt gjøre en ting: distribuere #7# til #3/196#. Det gir oss # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #, og vi har nå vårt toppunkt! Fra # 7 (x + farge (grønn) (9/14)) ^ 2color (red) (+ 3/28) #, vi får begge våre #COLOR (grønn) (x) #-value og vår #COLOR (red) (y) #-verdi. Vår toppunkt er # (farge (oransje) (-) farge (grønn) (9/14), farge (rød) (3/28)) #. Vær oppmerksom på at tegnet på #COLOR (grønn) (x) # komponenten er motsatte av tegnet i ligningen.
For å sjekke arbeidet vårt kan vi bare plotte likningen og finne toppunktet på den måten.
diagrammet {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
Vertexet er #(.643,.107)#, som er den avrundede desimalformen av #(-9/14, 3/28)#. Vi hadde rett! Flott jobb.
