Hvordan beregne summen av dette? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Med tanke på #abs x <1 #

(n = 1) ^ o (x) ^ n (x) #

men # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # og

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # deretter

(n = 1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Svar:

(n = 1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # når # | X | <1 #

Forklaring:

Vi begynner med å skrive ut noen av koeffisientene:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Det første vi vil se på er koeffisientene (graden av # X # kan ganske enkelt justeres ved å multiplisere og dele serien med # X #, så de er ikke like viktige). Vi ser at de alle er multipliser av to, så vi kan få en faktor på to:

# = 2 (x ^ 2-3 x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Koeffisientene inne i denne parentesen kan gjenkjennes som binomialserien med en kraft på # A = -3 #:

# (1 + x) ^ a = 1 + alphax + (alfa (a-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (a-1) (a-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Vi legger merke til at eksponenter av alle betingelsene i parentes er større med to sammenlignet med serien vi nettopp har avledet, så vi må multiplisere # X ^ 2 # å få den riktige serien:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Dette betyr at serien vår er (når den konvergerer) lik:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Bare for å bekrefte at vi ikke gjorde en feil, kan vi raskt bruke Binomial Series til å beregne en serie for # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2 x ^ 3 …) = #

Vi kan beskrive dette mønsteret slik:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn n-1) x ^ n #

Siden første sikt er bare #0#, vi kan skrive:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

som er serien vi startet med, og verifiserte vårt resultat.

Nå trenger vi bare å finne ut konvergensintervallet, for å se når serien faktisk har en verdi. Vi kan gjøre dette ved å se på konvergensbetingelsene for binomial-serien og finne ut at serien konvergerer når # | X | <1 #