Hva er maksimalarealet av et rektangel som har en omkrets på 116m?

Svar:

Området, #A = 841 "m" ^ 2 #

Forklaring:

La L = lengden

La W = bredden

Omkretsen, #P = 2L + 2W #

gitt: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

Løs for W i forhold til L:

#W = 58 "m" - L "1" #

Området, #A = LW "2" #

Erstatt høyre side av ligning 1 for W i ligning 2:

#A = L (58 "m" - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 "m") L #

For å oppnå verdien av L som maksimerer området, beregner du sin første derivat med hensyn til L, sett den lik 0, og løsningen for L:

Det første derivatet:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

Sett den til 0:

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

Bruk ligning 1 for å finne verdien av W:

# W = 58 "m" - 29 "m" #

# W = 29 "m" #

Dette viser at rektangelet som produserer det maksimale området, er en firkant. Området er:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

Svar:

# 841 ^ 2 #.

Forklaring:

Vi løser dette problemet ved å bruke Algebraiske metoder. Som en

Andre løsning, Vi vil løse det ved å bruke kalkulus

La #l og w # vær lengden og bredden på rektangelet, resp.

Deretter, området av rektangelet# = Lw. #

Deretter, etter hva som er gitt, # 2 (l + w) = 116, eller, (l + w) / 2 = 29 #.

Her bruker vi følgende AGH ulikhet av ekte nos.:

Hvis A, G og H er Aritmetiske, geometriske og harmoniske midler

av # a, b i RR ^ + uu {0} "resp.," A> = G> = H. #

# "Her" A = (a + b) / 2, G = sqrt (ab), &, H = (2ab) / (a + b). #

Derfor # (l + w) / 2> = sqrt (lw), eller, ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

Dette betyr at, # "Arealet =" lb <= (29) ^ 2 #

Derav maksimum område av rektangelet# = 841 ^ 2 #.