La G være syklisk gruppe og G = 48. Hvordan finner du alle undergrupper av G?

Svar:

Undergruppene er alle sykliske, med ordrer som deles #48#

Forklaring:

Alle undergrupper i en syklisk gruppe er seg selv sykliske, med ordrer som er divisorer av gruppens rekkefølge.

For å se hvorfor, antar # G = <a> # er syklisk med ordre # N # og #H del G # er en undergruppe.

Hvis # a ^ m i H # og # a ^ n i H #, så er det også # A ^ (pm + qn) # for alle heltall #p, q #.

Så # a ^ k i H # hvor # k = GCF (m, n) # og begge deler # A ^ m # og # A ^ n # er i # <a ^ k> #.

Spesielt hvis # a ^ k i H # med #GCF (k, N) = 1 # deretter #H = <a> = G #.

Også ikke det hvis #mn = N # deretter # <a ^ m> # er en undergruppe av # G # med ordre # N #.

Vi kan utlede:

• # H # har ikke mer enn #1# generator.
• Ordren til # H # er en faktor av # N #.

I vårt eksempel #N = 48 # og undergruppene er isomorfe til:

# C_1 #, # CH2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

å være:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #