Det er kjent at ligningen bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 har en reell rot. Bevis at ligningen x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 har ingen reelle røtter.?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Røttene for # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # er

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2)) / (2 b) #

Røttene vil være sammenfallende og ekte hvis

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

eller

# A = b # eller #a = 5b #

Nå løser

# X ^ 2 + (ab) x + (b-b ^ 2 + 1) = 0 # vi har

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Tilstanden for komplekse røtter er

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

nå gjør #a = b # eller #a = 5b # vi har

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Avsluttende, hvis # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # har sammenfallende ekte røtter da # X ^ 2 + (ab) x + (b-b ^ 2 + 1) = 0 # vil ha komplekse røtter.

Vi er gitt at ligningen:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

har en ekte rot, derfor er diskriminanten av denne ligningen null:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, eller # a = 5b #

Vi søker å vise ligningen:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

har ingen reelle røtter. Dette ville kreve en negativ diskriminant. Diskriminanten for denne ligningen er:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Og la oss nå vurdere de to mulige tilfellene som tilfredsstiller den første ligningen:

Sak 1: # A = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 #

Sak 2: # A = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 #

Derfor er betingelsene i den første ligningen slik at den andre ligningen alltid har en negativ diskriminant, og har derfor komplekse røtter (dvs. ingen reelle røtter), QED