Hva er cot (theta / 2) når det gjelder trigonometriske funksjoner av en enhet theta?

Svar:

Beklager mislest, #cot (theta / 2) = synd (theta) / {1-cos (theta)}, # som du kan få fra å bla #tan (theta / 2) = {1-cos (theta)} / sin (theta) #, bevis kommer.

# Theta = 2 * arctan (1 / x) #

Forklaring:

Vi kan ikke løse dette uten en høyreside, så jeg skal bare gå med # X #.

Målet omarrangere, #cot (theta / 2) = x # til # Theta #.

Siden de fleste kalkulatorer eller andre hjelpemidler ikke har en "barneseng" -knapp eller a #cot ^ {- 1} # eller #arc cot # ELLER # Acot # knapp#''^1# (forskjellig ord for den inverse cotangent-funksjonen, barneseng bakover), vi skal gjøre dette med tan.

#cot (theta / 2) = 1 / tan (theta / 2) # forlater oss med

# 1 / tan (theta / 2) = x #.

Nå tar vi en over begge sider.

# 1 / {1 / tan (theta / 2)} = 1 / x #, som går til

#tan (theta / 2) = 1 / x #.

På dette punktet må vi få # Theta # utenfor # Tan #, gjør vi dette ved å ta # Arctan, # den omvendte av # Tan #. # Tan # tar en vinkel og gir et forhold, #tan (45 ^ o) = 1 #. # Arctan # tar et forhold og gir en vinkel #arctan (1) = 45 ^ o # #''^2#. Dette betyr at #arctan (tan (45)) = 45 # og #tan (arctan (1)) = 1 # eller generelt:

#arctan (tan (x)) = x #

og

#tan (arctan (x)) = x #.

Bruk dette til vårt uttrykk vi har, #arctan (tan (theta / 2)) = arctan (1 / x) # som blir

# Theta / 2 = arctan (1 / x) # og etterbehandling vi får

# Theta = 2 * arctan (1 / x) #.

Du merket jeg brukte fotnoter! Det er noen subtiliteter for inverse trig-funksjoner jeg valgte å pakke ned her.

1) Navn på inverse trig-funksjoner. Det formelle navnet på en invers trig-funksjon er "bue" - trig-funksjon, dvs. # Arctan #, # ARccOS # # Arcsin #. Dette er kortere to måter, "atan", "acos" "asin" som brukes i dataprogrammering og matematikkprogrammer og HORRIBLE "tan ^ -1", "sin ^ -1" "cos ^ -1" som brukes i mange kalkulatorer. Det er HORRIBLE fordi # tan ^ -1 x # kan virke som # 1 / tan x #, samtidig som #atan x # og #arctan x # er mye mindre sannsynlig å forvirre leseren. Bruk atan eller arctan i algebraen din.

2) Siden alle verdier av tangent forekommer to ganger i enhetens sirkel, # Arctan # Normalt returnerer vinkelen mellom # -180 ^ o # og # 180 # ^ o, for å bruke andre vinkler må du bruke hjernen din!