Hvordan bekrefter du den følgende identiteten?

Svar:

Bruk noen trig identiteter og mye forenkling. Se nedenfor.

Forklaring:

Når det gjelder ting som # Cos3x #, det bidrar til å forenkle den til trigonometriske funksjoner i en enhet # X #; det vil si noe sånt # Cosx # eller # cos ^ 3x #. Vi kan bruke sumregel for cosinus til å oppnå dette:

#cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Så siden # Cos3x = cos (2x + x) #, vi har:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Nå kan vi erstatte # Cos3x # med det ovennevnte uttrykket:

# (Cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Vi kan dele denne større brøkdelen opp i to mindre brøker:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Legg merke til hvordan cosinusene avbryter:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) avbryt (cosx)) / avbryt (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Legg nå til en # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # inn i venstre side av ligningen (som er det samme som å legge til #0#). Begrunnelsen bak dette vil bli klart om et minutt:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Omordne vilkårene:

# cos ^ 2x + sin ^ 2X- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Bruk den pythagoranske identiteten # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # og kombinere # Sin ^ 2x #s i parentesene:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Du kan se at vårt lille triks med å legge til # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # har tillatt oss å bruke den pythagoranske identiteten og samle inn # Sin ^ 2x # vilkår.

Og voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Q.e.d.