Hvordan finner du ligningen av en linje som er tangent til funksjonen y = x ^ 2 (x-2) ^ 3 ved x = 1?

Svar:

Ligningen er # Y = 9x-10 #.

Forklaring:

For å finne ligningen av en linje, trenger du tre stykker: skråningen, en # X # verdien av et punkt, og a # Y # verdi.

Det første trinnet er å finne derivatet. Dette vil gi oss viktig informasjon om hellingen av tangenten. Vi vil bruke kjederegelen til å finne derivatet.

# Y = x ^ 2 (X-2) ^ 3 #

# Y = 3x ^ 2 (x-2) ^ 2 (1) #

# Y = 3x ^ 2 (x-2) ^ 2 #

Derivatet forteller oss poengene hva hellingen til den opprinnelige funksjonen ser ut. Vi ønsker å vite bakken på dette punktet, # X = 1 #. Derfor plugger vi bare denne verdien inn i derivatligningen.

# Y = 3, (1) ^ 2 (1-2) ^ 2 #

# Y = 9 (1) #

# Y = 9 #

Nå har vi en skråning og en # X # verdi. For å bestemme den andre verdien, plugger vi # X # inn i den opprinnelige funksjonen og løse for # Y #.

# Y = 1 ^ 2 (1-2) ^ 3 #

# Y = 1 (-1) #

# Y = -1 #

Derfor er vår skråning #9# og vårt poeng er #(1,-1)#. Vi kan bruke formelen for ligningen til å få svaret vårt.

# Y = mx + b #

# M # er skråningen og # B # er den vertikale avskjæringen. Vi kan plugge inn verdiene vi kjenner og løse for den vi ikke gjør.

# -1 = 9 (1) + b #

# -1 = 9 + b #

# -10 # = B

Til slutt kan vi konstruere ekvationen til tangenten.

# Y = 9x-10 #

Jeg har løst denne måten! Vennligst se svaret nedenfor: