Kan en funksjon være kontinuerlig og ikke-differensierbar på et gitt domene?

Svar:

Ja.

Forklaring:

Et av de mest slående eksemplene på dette er Weierstrass-funksjonen, oppdaget av Karl Weierstrass, som han definerte i sin opprinnelige papir som:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (bnn pi x) #

hvor # 0 <a <1 #, # B # er et positivt merkelig heltall og #ab> (3pi + 2) / 2 #

Dette er en veldig spiky funksjon som er kontinuerlig overalt på Real-linjen, men differensierbar ingensteds.

Svar:

Ja, hvis det har et "bøyd" punkt. Et eksempel er #f (x) = | x | # på # X_0 = 0 #

Forklaring:

Kontinuerlig funksjon betyr praktisk talt å tegne det uten å ta blyanten av papiret. Matematisk betyr det at for noen # X_0 # verdiene av #f (x_0) # som de nærmer seg med uendelig liten # Dx # fra venstre og høyre må være lik:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

hvor minustegnet betyr nærmer seg fra venstre og pluss tegn betyr nærmer seg fra høyre.

Differentierbar funksjon betyr praktisk talt en funksjon som jevnt endrer sin skråning (IKKE i konstant takt). Derfor betyr en funksjon som ikke er differensierbar på et gitt punkt, praktisk talt at den plutselig forandrer sin skråning fra venstre til det punktet til høyre.

La oss se 2 funksjoner.

#f (x) = x ^ 2 # på # X_0 = 2 #

Kurve

graf {x ^ 2 -10, 10, -5,21, 5,21}

Graf (zoomet)

graf {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Siden på # X_0 = 2 # grafen kan dannes uten å ta blyanten av papiret, funksjonen er kontinuerlig på det tidspunktet. Siden det ikke er bøyd på det tidspunktet, er det også differensierbart.

#G (x) = | x | # på # X_0 = 0 #

Kurve

graf {absx -10, 10, -5,21, 5,21}

På # X_0 = 0 # Funksjonen er kontinuerlig som den kan tegnes uten å ta blyanten av papiret. Men siden det knytter seg på det tidspunktet, er funksjonen ikke differensierbar.