Hva er ligningen til linjen som er tangent til f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x ved x = sqrtpi?

Svar:

Ligningen er omtrentlig:

#y = 3.34x - 0.27 #

Forklaring:

For å starte, må vi bestemme #f '(x) #, slik at vi vet hva skråningen av #f (x) # er til enhver tid, # X #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

bruker produktregelen:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Disse er standard derivater:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Så blir vår derivat:

#f '(x) = e ^ x synd (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Sette inn det gitte # X # verdi, skråningen på #sqrt (pi) # er:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))

Dette er skråningen av vår linje på punktet # x = sqrt (pi) #. Vi kan da bestemme y-avskjæringen ved å sette inn:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Dette gir oss den ikke-forenklede ligningen for vår linje:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

(sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)) sin))) x + b #

Løsning for b, vi ender opp med den irriterende kompliserte formelen:

# p = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi))

Så slutter vår linje å være:

# x = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi))

Hvis vi faktisk beregner hva disse irriterende store koeffisientene tilsvarer, slutter vi med den omtrentlige linjen:

#y = 3.34x - 0.27 #