Svar:
Her er Cayley-tabellene for tillegg og multiplikasjon i
Forklaring:
Cayley-tabeller er todimensjonale grotter som beskriver resultatene av tillegg eller multiplikasjon av alle elementene i en gruppe. I tilfelle av en ring som
Her er tabellen for tillegg:
# farge (hvit) ("|") 1 farge (hvit) ("|") 2 farger (hvit) (" | ") 3 farge (hvit) (" | ") 4 farger (hvit) (" | ") 5 farger (hvit) (" | ") 6 farger (hvit)
# "" 0 farge (hvit) ("") understreke ("|" 0 "|" 1 "|" 2 "|" 3 "|" 4 "|" 5 "|" 6 "|") #
# "" 1 farge (hvit) ("") understreke ("|" 1 "|" 2 "|" 3 "|" 4 "|" 5 "|" 6 "|" 0 "|") #
# "" 2 farge (hvit) ("") understreke ("|" 2 "|" 3 "|" 4 "|" 5 "|" 6 "|" 0 "|" 1 "|") #
# "" 3 farge (hvit) ("") understreke ("|" 3 "|" 4 "|" 5 "|" 6 "|" 0 "|" 1 "|" 2 "|") #
# "" 4 farge (hvit) ("") understreke ("|" 4 "|" 5 "|" 6 "|" 0 "|" 1 "|" 2 "|" 3 "|") #
# "" 5 farge (hvit) ("") understreke ("|" 5 "|" 6 "|" 0 "|" 1 "|" 2 "|" 3 "|" 4 "|") #
# "" 6 farge (hvit) ("") understreke ("|" 6 "|" 0 "|" 1 "|" 2 "|" 3 "|" 4 "|" 5 "|") #
Her er tabellen for multiplikasjon av ikke-null elementer:
#color (hvit) ("" 0 "") understreke (farge (hvit) ("|") 1 farge (hvit) ("|") 2 farger (hvit) | ") 4 farge (hvit) (" | ") 5 farge (hvit) (" | ") 6 farge (hvit) (" | ")) #
# "" 1 farge (hvit) ("") understreke ("|" 1 "|" 2 "|" 3 "|" 4 "|" 5 "|" 6 "|") #
# "" 2 farge (hvit) ("") understreke ("|" 2 "|" 4 "|" 6 "|" 1 "|" 3 "|" 5 "|") #
# "" 3 farge (hvit) ("") understreke ("|" 3 "|" 6 "|" 2 "|" 5 "|" 1 "|" 4 "|") #
# "" 4 farge (hvit) ("") understreke ("|" 4 "|" 1 "|" 5 "|" 2 "|" 6 "|" 3 "|") #
# "" 5 farge (hvit) ("") understreke ("|" 5 "|" 3 "|" 1 "|" 6 "|" 4 "|" 2 "|") #
# "" 6 farge (hvit) ("") understreke ("|" 6 "|" 5 "|" 4 "|" 3 "|" 2 "|" 1 "|") #
Polynomien av grad 4, P (x) har en rot av multiplikasjon 2 ved x = 3 og røtter av multiplikasjon 1 ved x = 0 og x = -3. Det går gjennom punktet (5.112). Hvordan finner du en formel for P (x)?
Et polynom av grad 4 vil ha roten form: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Erstatt i verdiene for røttene og bruk deretter poenget for å finne verdien av k. Bytt i verdiene for røttene: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Bruk punktet (5,112) for å finne verdien av k: 112 = k (5-3) (5-3) (5 - (-3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / (5) (2) 2) (8)) k = 7/10 Roten fra polynomet er: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (-3))
Polynomien til grad 5, P (x) har ledende koeffisient 1, har røtter av multiplikasjon 2 ved x = 1 og x = 0, og en rot av multiplikasjon 1 ved x = -3, hvordan finner du en mulig formel for P (x)?
P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Hver rot samsvarer med en lineær faktor, slik at vi kan skrive: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Enhver polynom med disse nullene og minst disse multipliseringene vil være en flere (skalar eller polynom) av denne P (x) fotnoten Strengt sett er en verdi på x som resulterer i P (x) = 0 kalt en rot av P (x) = 0 eller en null på P (x). Så spørsmålet burde virkelig ha snakket om nullene av P (x) eller om røttene til P (x) = 0.
Polynomien til grad 5, P (x) har ledende koeffisient 1, har røtter av multiplikasjon 2 ved x = 1 og x = 0, og en rot av multiplikasjon 1 ved x = -1 Finn en mulig formel for P (x)?
P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Gitt at vi har en rot av multiplikasjon 2 ved x = 1, vet vi at P (x) har en faktor (x-1) ^ 2 Gitt at vi har en rot av multiplikasjon 2 ved x = 0, vet vi at P (x) har en faktor x ^ 2 Gitt at vi har en rot av multiplikasjon 1 ved x = -1, vet vi at P (x) har en faktor x + 1 Vi er gitt at P (x) er et polynom av grad 5, og vi har derfor identifisert alle fem røttene, og faktorer, slik at vi kan skrive P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Og vi kan derfor skrive P (x) = Axe ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Vi vet også at ledende koeffisient er 1 => A = 1 P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1)