Bevis at strømsettet er et felt?

Svar:

Kraftsettet av et sett er en kommutativ ring under den naturlige driften av forening og skjæringspunkt, men ikke et felt under disse operasjonene, siden det mangler inverse elementer.

Forklaring:

Gitt et sett # S #, vurder strømsettet # 2 ^ S # av # S #.

Dette har naturlig virksomhet av union # Uu # som oppfører seg som tillegg, med en identitet # O / # og kryss # Nn # som oppfører seg som multiplikasjon med en identitet # S #.

I mer detalj:

• # 2 ^ S # er stengt under # Uu #

  Hvis #A, B i 2 ^ S # deretter #A uu B i 2 ^ S #

• Det er en identitet # O / i 2 ^ S # til # Uu #

  Hvis #A i 2 ^ S # deretter #A uu O / = O / uu A = A #

• # Uu # er assosiativ

  Hvis #A, B, C i 2 ^ S # deretter #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # Uu # er kommutativ

  Hvis #A, B i 2 ^ S # deretter #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # er stengt under # Nn #

  Hvis #A, B i 2 ^ S # deretter #A nn B i 2 ^ S #

• Det er en identitet #S i 2 ^ S # til # Nn #

  Hvis #A i 2 ^ S # deretter #A nn S = S nn A = A #

• # Nn # er assosiativ

  Hvis #A, B, C i 2 ^ S # deretter #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # er kommutativ

  Hvis #A, B i 2 ^ S # deretter #A nn B = B nn A #

• # Nn # er venstre og høyre fordelende over # Uu #

  Hvis #A, B i 2 ^ S # deretter #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  og # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Så # 2 ^ S # tilfredsstiller alle aksiomene som kreves for å være en kommutativ ring med tillegg # Uu # og multiplikasjon # Nn #.

Hvis #S = O / # deretter # 2 ^ S # har ett element, nemlig # O / #, så det mislykkes å ha tydelige additiv og multiplikative identiteter og er derfor ikke et felt.

Ellers merk det # S # har ingen invers under # Uu # og # O / # har ingen invers under # Nn #. Så # 2 ^ S # danner ikke et felt på grunn av mangel på inverse elementer.