Hva er den absolutte ekstreme av f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) i [2,9]?

Svar:

Det absolutte minimumet er # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# som oppstår når # X = 9 #.

Det absolutt maksimale er # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # som oppstår når # X = 2 #.

Forklaring:

Den absolutte ekstrem av en funksjon er den største og minste y-verdien av funksjonen på et gitt domene. Dette domenet kan gis til oss (som i dette problemet), eller det kan være domenet til selve funksjonen. Selv når vi får domenet, må vi vurdere domenet til selve funksjonen, dersom det utelukker noen verdier av domenet vi får.

#f (x) # inneholder eksponenten #1/3#, som ikke er et heltall. Heldigvis, domenet til #p (x) = root3 (x) # er # (- oo, oo) # så dette faktum er ikke et problem.

Imidlertid må vi fortsatt vurdere det faktum at nevner ikke kan være null. Nevneren vil være lik null når #X = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Ingen av disse verdiene ligger i det angitte domenet til #2,9#.

Så, vi vender oss til å finne den absolutte ekstrem på #2,9#. Absolutt ekstrem forekommer på endepunktene til domenet eller ved lokal ekstrem, det er poeng der funksjonen endrer retning. Lokal ekstrem forekommer ved kritiske punkter, som er poeng i domenet der derivatet er lik #0# eller eksisterer ikke. Dermed må vi finne derivatet. Bruke kvotientregelen:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Hvis vi faktor # -3x ^ (- 2/3) # ut av telleren har vi:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Det er ingen verdier for # X # på #2,9# hvor #f '(x) # eksisterer ikke. Det er heller ingen verdier på #2,9# hvor #f '(x) = 0 #. Dermed er det ingen kritiske punkter på det givne domenet.

Ved hjelp av "kandidat test" finner vi verdiene av #f (x) # ved endepunktene. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

En rask sjekk på våre kalkulatorer viser at:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (absolutt maksimum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (absolutt minimum)

Hva er den absolutte ekstreme av f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 i [0,3]?

På [0,3] er maksimumet 19 (ved x = 3) og minimumet er -1 (ved x = 1). For å finne den absolutte ekstreme av en (kontinuerlig) funksjon i et lukket intervall, vet vi at ekstrema må forekomme ved enten crtical numre i intervallet eller i intervallets endepunkter. f (x) = x ^ 3-3x + 1 har derivat f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 er aldri udefinert og 3x ^ 2-3 = 0 ved x = + - 1. Siden -1 ikke er i intervallet [0,3], kasserer vi det. Det eneste kritiske tallet som skal vurderes er 1. f (0) = 1 f (1) = -1 og f (3) = 19. Så er maksimumet 19 (ved x = 3) og minimumet er -1 x = 1).

Hva er den absolutte ekstreme av f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) i [1,4]?

Det er ingen globale maksima. Den globale minima er -3 og forekommer ved x = 3.f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) ^ X = 1x '6 x x 1 x x 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x kritisk nummer. Endpoints: 1 & 4: x = 1 f (1): "udefinert" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Kritiske punkter: f ' = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Ved x = 3 f (3) = -3 Det er ingen globale maksima. Det er ingen globale minima er -3 og skjer ved x = 3.

Hva er den absolutte ekstreme av f (x) = (2x ^ 3-x) / ((x ^ 2-64) i [-8,8]?

I [-8, 8] er absolutt minimum 0 ved O. x = + -8 er de vertikale asymptotene. Så det er ingen absolutt maksimum. Selvfølgelig, | f | til oo, som x til + -8. Den første er en samlet graf. Grafen er symmetrisk, omtrent O. Den andre er for de angitte grensene x i [-8, 8] graf {((2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) -y) (y-2x) = 0 [-160, 160, -80, 80]} graf {(2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) [-10, 10, -5, 5]} Ved faktisk divisjon, y = f x) = 2x +127/2 (1 / (x + 8) + 1 / (x-8)), avslørende skrå asymptoten y = 2x og de vertikale asymptotene x = + -8. Så det er ingen absolutt maksimum, som | y | til oo, som x til + -8. y