Hva er asymptotene og flyttbare diskontinuiteter, hvis noen, av f (x) = (x ^ 3-x + 2) / ((x-x ^ 2) (1-x ^ 2))?

Svar:

Det er ingen.

Forklaring:

Avtakbare diskontinuiteter eksisterer når funksjonen ikke kan evalueres på et bestemt tidspunkt, men venstre og høyre håndgrenser er like ved det punktet. Et slikt eksempel er funksjonen x / x. Denne funksjonen er klart 1 (nesten) overalt, men vi kan ikke evaluere den på 0 fordi 0/0 er udefinert. Imidlertid er venstre og høyre grense på 0 begge 1, slik at vi kan "fjerne" diskontinuiteten og gi funksjonen en verdi på 1 ved x = 0.

Når funksjonen din er definert av en polynom fraksjon, er eliminering av diskontinuiteter synonymt med avbruddsfaktorer. Hvis du har tid og du vet hvordan du skiller polynomene, oppfordrer jeg deg til å bevise dette for deg selv.

Factoring din polynom er vanskelig. Det er imidlertid en enkel måte å sjekke hvor diskontinuitetene er. Finn først alle x slik at nevneren er 0. For å gjøre dette kan du faktor nevneren som følger:

# (x-x ^ 2) (1-x ^ 2) = x (1-x) (1-x) (1 + x)

Den første termen jeg faktureres ved å trekke ut en felles faktor x. Den andre sikt er forskjellen på firkanter, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #.

Her ser vi nuller i nevnte er x = 0, x = 1 og x = -1.

Uten factoring telleren kan vi sjekke om nullene eksisterer i tellerpolynomet. Hvis de gjør det, må vi gjøre noen factoring. Hvis de ikke gjør det, kan vi være sikre på at det ikke er noen faktorer som vil avbryte uansett.

#(0)^3-(0)+2 = 2#

#(1)^3-(1)+2 = 2#

#(-1)^3-(-1)+2 = 2#

I alle tre tilfeller har vi 2, som ikke er 0. Således kan vi konkludere med at ingen av nullene i nevnen samsvarer med 0 i telleren, slik at ingen av diskontinuitetene kan fjernes.

Du kan også sjekke dette selv i valgfri grafikkprogramvare. Du finner funksjonen divergerer ved x = -1, 0 og 1. Hvis diskontinuitetene var flyttbare, skal den se relativt flat i regionen rundt diskontinuiteten, i stedet for å divergere.