Hva er området med en vanlig sekskant med en apotem på 6m i lengde?

Svar:

#S_ (sekskant) = 216 / sqrt (3) = 36sqrt (3) ~ = 62.35m ^ 2 #

Forklaring:

Med henvisning til den vanlige sekskanten, fra bildet over kan vi se at det er dannet av seks trekanter, hvis sider er to sirkels radius og sekskantens side. Vinkelen til hvert av disse trekants toppunkt som ligger i sirkelsenteret er lik #360^@/6=60^@# og så må de to andre vinklene dannes med trekantens basis til hver av radiene: så disse trekanter er like-sidige.

Apothem deler hver og en av de like-sidige trekanter i to rette trekanter, hvis sider er sirkelens radius, apothem og halvparten av sekskantens side. Siden apotem danner en rett vinkel med sekskantens side og siden sekskantens sideformer #60^@# med en sirkel radius med et endepunkt som er felles med sekskantens side, kan vi bestemme siden på denne måten:

#tan 60 ^ @ = ("motsatt kateter") / ("tilstøtende kateter") # => #sqrt (3) = (Apothem) / ((side) / 2 # => # side = (2 / sqrt (3)) Apothem #

Som nevnt er området av den vanlige sekskanten dannet av området av 6 like-sidige trekanter (for hver av disse trekantene er basen en sekskantes side og apotem fungerer som høyde) eller:

#S_ (sekskant) = 6 * S_triangle = 6 ((base) (høyde)) / 2 = 3 (2 / sqrt (3)) Apothem * Apothem = (6 / sqrt (3)) (Apothem) ^ 2 #

=> #S_ (sekskant) = (6 xx 6 ^ 2) / sqrt (3) = 216 / sqrt (3) #