Slik integrerer du sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Svar:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Forklaring:

Siden det er lettere å håndtere bare en # X # under en kvadratrot fullfører vi torget:

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# K = -4 #

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Nå må vi gjøre en trigonometrisk substitusjon. Jeg skal bruke hyperboliske trig-funksjoner (fordi sekantintegrert vanligvis ikke er veldig fint). Vi vil bruke følgende identitet:

# Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

For å gjøre dette, ønsker vi # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Vi kan løse for # X # for å få den substitusjonen vi trenger:

# X + 2 = 2cosh (theta) #

# X = 2cosh (theta) -2 #

Å integrere med hensyn til # Theta #, må vi multiplisere med derivatet av # X # med respekt for # Theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta =

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Nå kan vi bruke identiteten # Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Nå bruker vi identiteten:

# Sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2teta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Vi kunne gjøre en eksplisitt u-erstatning for # 2cosh (2teta) #, men det er ganske tydelig at svaret er #sinh (2teta) #:

# = Sinh (2teta) -2theta + C #

Nå må vi fortrytte substitusjonen. Vi kan løse for # Theta # å få:

# Theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Dette gir:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #