Hva er sluttadferansen til funksjonen f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # som #X -> Infty # (#ln (x) # vokser uten bundet som # X # vokser uten bundet) og #f (x) = ln (x) -> - Infty # som #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # vokser uten bundet i negativ retning som # X # nærmer seg null fra høyre).

For å bevise det første faktum, må du i hovedsak vise at den økende funksjonen #f (x) = ln (x) # har ingen horisontal asymptote som #X -> Infty #.

La #M> 0 # være et gitt positivt tall (uansett hvor stort). Hvis #X> e ^ {M} #, deretter #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (siden #f (x) = ln (x) # er en økende funksjon). Dette viser at det er en horisontal linje # Y = M # kan ikke være en horisontal asymptote av #f (x) = ln (x) # som #X -> Infty #. Det faktum at #f (x) = ln (x) # er en økende funksjon innebærer nå det #f (x) = ln (x) -> Infty # som # X-> Infty #.

For å bevise det andre faktum, la #M> 0 # være et gitt positivt tall slik at # -M <0 # er et gitt negativt tall (uansett hvor langt fra null). Hvis # 0 <x <e ^ {- M} #, deretter #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (siden #f (x) = ln (x) # øker). Dette viser det #f (x) = ln (x) # kommer under en horisontal linje hvis # 0 <x # er tilstrekkelig nær null. Det betyr #f (x) = ln (x) -> - Infty # som #x -> 0 ^ {+} #.