Når bruker du Herons formel til å finne område?

Du kan bruke den når du vet lengden på alle tre sider av en trekant.

Jeg håper at dette var nyttig.

Svar:

Herons formel er nesten alltid feil formel å bruke; prøv Archimedes 'Stilling for en trekant med område #EN# og sider # A, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # hvor # S = 1/2 (a + b + c) #

Det siste er tynt slettet Heron.

Forklaring:

Helt av Alexandria skrev i det første århundre e.Kr. Hvorfor fortsetter vi å torturere studentene med resultatet når det er mye bedre moderne ekvivalenter, har jeg ingen anelse om.

Herons formel for området #EN# av en trekant med sider # A, b, c # er

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # hvor # S = 1/2 (a + b + c) # er semiperimeteret.

Det er ingen tvil om at denne formelen er fantastisk. Men det er vanskelig å bruke på grunn av fraksjonen, og hvis vi starter fra koordinater, de fire firkantede røttene.

La oss bare gjøre matematikken. Vi kvadrerer og eliminerer # S # som hovedsakelig tjener til å skjule en #16# og en viktig faktorisering. Du vil kanskje prøve det selv først.

# 1 ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Det er allerede mye bedre enn Herons form. Vi lagrer brøkdelen til slutten, og det er ikke lenger å lure på hva semipimeteren betyr.

Den degenererte saken forteller. Når en av de faktorene med et minustegn er null, er det da to sider legger til nøyaktig den andre siden. Det er avstander mellom tre collinear poeng, degenerert trekant, og vi får null område. Gir mening.

De # A + b + c # faktor er interessant. Hva det forteller oss er denne formelen fortsatt fungerer hvis vi bruker forskyvninger, signerte lengder, i stedet for alle positive.

Formelen er fortsatt vanskelig å bruke gitt koordinater. La oss multiplisere det ut; du vil kanskje prøve det selv;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

a = 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Det skjemaet avhenger kun av firkantene av lengdene. Det er tydelig helt symmetrisk. Vi kan gå utover Heron nå og si om kvadratiske lengder er rasjonelle, så er det kvadratiske området.

Men vi kan gjøre det bedre hvis vi merker

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

trekke,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Det er den vakreste formen.

Det er en asymmetrisk ser form som vanligvis er den mest nyttige. Vi merker

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Legger til dette til

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Det er den mest nyttige form. Det er virkelig tre måter å skrive det på, bytte sider.

Samlet kalles disse Archimedes 'Theorem, fra NJ Wildberger's rasjonelle trigonometri.

Når gitt 2D-koordinater, er Shoelace-formelen ofte den raskeste banen til området, men jeg lagrer det for andre innlegg.