Hva er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Og hva er summen i x = 3?

$Hva er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Og hva er summen i x = 3?$

Svar:

# - oo, -4 "U" 5, oo "er konvergensintervallet for x" #

# "x = 3 er ikke i konvergensintervallet, så summen for x = 3 er" oo #

Forklaring:

# "Behandle summen som det ville være en geometrisk serie ved å erstatte" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Da har vi" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "for" | z | <1 #

# "Så intervallet av konvergens er" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ELLER" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativ)" #

# "Positiv sak:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 og x> 5 #

# => x> 5 #

# "Negativt tilfelle:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 og x <5 #

# => x <-4 #

# "Andre del:" x = 3 => z = 2> 1 => "summen er" oo #

Hva er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

Se nedenfor. Ved hjelp av polynomidentiteten (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) har vi for abs x <1 lim_ (n-> oo) x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) da, for x ne k pi, k i ZZ har vi sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Hva er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X i (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Vi kan vri den sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n er en geometrisk serie med forholdet r = 1 / (x (1-x)). Nå vet vi at den geometriske serien konvergerer når absoluttverdien av forholdet er mindre enn 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Så vi må løse denne ulikheten: 1 / (x (1-x)) <1 og 1 / (x (1-x))> -1 La oss begynne med den første: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Vi kan lett bevise at telleren alltid er positiv og nevneren er negetiv i intervallet x i (-oo, 0) U (1, oo). S

Hva er x hvis log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x)?

Ingen løsning i RR. Løsninger i CC: farge (hvit) (xxx) 2 + i farge (hvit) (xxx) "og" farge (hvit) (xxx) 2-i Først bruk logaritmen regelen: log_a (x) + log_a = log_a (x * y) Her betyr dette at du kan transformere ligningen din slik: log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x) <=> log_2 (2-x)) = log_2 (1-x) På dette tidspunktet, som logaritmen er> 1, kan du "slippe" logaritmen på begge sider siden log x = log y <=> x = y for x, y> 0. Vær oppmerksom på at du ikke kan gjøre noe når det fortsatt er en sum av logaritmer som i begynnelsen. Så har