Hva er grensen når x nærmer seg uendelig av (ln (x)) ^ (1 / x)?

Det er ganske enkelt. Du må bruke det faktum at

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Da vet du det

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

Og så skjer den interessante delen som kan løses på to måter - ved hjelp av intuisjon og bruk av matematikk.

La oss starte med intuisjonsdel.

(ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("noe mindre enn x") / x) = e ^ 0 = 1 #

La oss tenke hvorfor er det så?

Takket være kontinuiteten i # E ^ x # funksjon vi kan flytte grense:

(ln (ln (x)) / x)) # x

For å evaluere denne grensen #lim_ (n-> Infty) (ln (ln (x)) / x) #, kan vi bruke de l'Hospital regel som sier:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '

Derfor, når vi teller derivater, får vi:

# ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x)))

Som derivater er # 1 / (XLN (x)) # for nominator og #1# for nevner.

Den grensen er enkel å beregne som den er # 1 / Infty # type grense som er null.

Derfor ser du det

(ln (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

Og det betyr det #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # også.