En trekant har sider A, B og C. Sider A og B har henholdsvis lengder på henholdsvis 2 og 4. Vinkelen mellom A og C er (7pi) / 24 og vinkelen mellom B og C er (5pi) / 8. Hva er området for trekanten?

Svar:

Området er # Sqrt {6} - sqrt {2} # kvadratiske enheter, ca. #1.035#.

Forklaring:

Området er en halv produkt av to sider ganger sinus av vinkelen mellom dem.

Her får vi to sider, men ikke vinkelen mellom dem, vi får den andre to vinkler i stedet. Så bestemm først den manglende vinkelen ved å merke at summen av alle tre vinklene er # Pi # radianer:

# Theta = PI- {7 pi} / {24} - {5 pi} / {8} = pi / {12} #.

Da er trekantens område

Område # = (1/2) (2) (4) sin (pi / {12}) #.

Vi må beregne # Sin (pi / {12}) #. Dette kan gjøres ved å bruke formelen for sinus av en forskjell:

#sin (pi / 12) = sin (farge (blå) (pi / 4) -farge (gull) (pi / 6)) #

# = Sin (farge (blå) (pi / 4)) cos (farge (gull) (pi / 6)) - cos (farge (blå) (pi / 4)) sin (farge (gull) (pi / 6)) #

# = ({ Sqrt {2}} / 2) ({ sqrt {3}} / 2) - ({ sqrt {2}} / 2) (1/2) #

# = { Sqrt {6} - sqrt {2}} / 4 #.

Da er området gitt av:

Område # = (1/2) (2) (4) ({ sqrt {6} - sqrt {2}} / 4) #

# = Sqrt {6} - sqrt {2} #.