Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?
Anonim

Svar:

lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1

Forklaring:

vi søker:

L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))

Når vi vurderer en grense, ser vi på oppførselen til funksjonen "nær" punktet, ikke nødvendigvis oppførelsen av funksjonen "ved" det aktuelle punktet, og dermed som x rarr 0 , på noe tidspunkt må vi vurdere hva som skjer på X = 0 Således får vi det trivielle resultatet:

L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))

= lim_ (x rarr 0) 1

= 1

For tydeligvis en graf av funksjonen for å visualisere oppførelsen rundt X = 0

graf {sin (1 / x) / synd (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Det bør gjøres klart at funksjonen Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) er udefinert på X = 0

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Definisjonene av grense for en funksjon jeg bruker er ekvivalent med:

lim_ (xrarra) f (x) = L hvis og bare for For hver positiv Epsilon , det er en positiv Delta slik at for hver X , hvis 0 <abs (x-a) <delta deretter abs (f (x) - L) <epsilon

På grunn av betydningen av "abs (f (x) - L) <epsilon ", dette krever det for alle X med 0 <abs (x-a) <delta , f (x) er definert.

Det er for den nødvendige Delta , alt (A-delta, en + delta) bortsett fra muligens en, ligger i domenet til F .

Alt dette får oss:

lim_ (xrarra) f (x) eksisterer bare hvis F er definert i noe åpent intervall som inneholder en, bortsett fra kanskje på en.

( F må defineres i noen slettede åpne nabolag av en)

Derfor, lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) eksisterer ikke.

Et nesten trivielt eksempel

f (x) = 1 til X en irrasjonell ekte (undefined for rationals)

lim_ (xrarr0) f (x) eksisterer ikke.