Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Svar:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Forklaring:

vi søker:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Når vi vurderer en grense, ser vi på oppførselen til funksjonen "nær" punktet, ikke nødvendigvis oppførelsen av funksjonen "ved" det aktuelle punktet, og dermed som #x rarr 0 #, på noe tidspunkt må vi vurdere hva som skjer på # X = 0 #Således får vi det trivielle resultatet:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

For tydeligvis en graf av funksjonen for å visualisere oppførelsen rundt # X = 0 #

graf {sin (1 / x) / synd (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Det bør gjøres klart at funksjonen # Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # er udefinert på # X = 0 #

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Definisjonene av grense for en funksjon jeg bruker er ekvivalent med:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # hvis og bare for For hver positiv # Epsilon #, det er en positiv # Delta # slik at for hver # X #, hvis # 0 <abs (x-a) <delta # deretter #abs (f (x) - L) <epsilon #

På grunn av betydningen av "#abs (f (x) - L) <epsilon #", dette krever det for alle # X # med # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # er definert.

Det er for den nødvendige # Delta #, alt # (A-delta, en + delta) # bortsett fra muligens #en#, ligger i domenet til # F #.

Alt dette får oss:

#lim_ (xrarra) f (x) # eksisterer bare hvis # F # er definert i noe åpent intervall som inneholder #en#, bortsett fra kanskje på #en#.

(# F # må defineres i noen slettede åpne nabolag av #en#)

Derfor, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # eksisterer ikke.

Et nesten trivielt eksempel

#f (x) = 1 # til # X # en irrasjonell ekte (undefined for rationals)

#lim_ (xrarr0) f (x) # eksisterer ikke.