Hva er noen eksempler på konvergerte serier?

Svar:

Her er tre viktige eksempler …

Forklaring:

Geometrisk serie

Hvis #abs (r) <1 # så summen av den geometriske serien #a_n = r ^ n a_0 # er konvergent:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Eksponentiell funksjon

Serien definerer # E ^ x # er konvergent for enhver verdi av # X #:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

For å bevise dette, for enhver gitt # X #, la # N # vær et heltall større enn #abs (x) #. Deretter #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # Konvergerer siden det er en endelig sum og #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # konvergerer siden absoluttverdien av forholdet mellom suksessive termer er mindre enn #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Basel problem

Basel-problemet, som ble utgitt i 1644 og løst av Euler i 1734, ba om verdien av summen av gjengivelser av kvadrater med positive heltall:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #