Hvordan finner du absolutt maksimale og absolutte minimumsverdier for f i det angitte intervallet: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) på [-1, 5]?

Svar:

Reqd. ekstreme verdier er # -25 / 2 og 25/2 #.

Forklaring:

Vi bruker substitusjon # t = 5sinx, t i -1,5 #.

Vær oppmerksom på at denne substitusjonen er tillatt, fordi, # t i -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, som holder bra, som rekkevidde av #synd# moro. er #-1,1#.

Nå, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Siden, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Derfor reqd. ekstremiteter er # -25 / 2 og 25/2 #.

Svar:

Finn monotoni av funksjonen fra derivatets tegn og avgjøre hvilke lokale maksimum / minimum som er størst, minste.

Absolutt maksimum er:

#f (3,536) = 12,5 #

Absolutt minimum er:

#f (-1) = - 4,899 #

Forklaring:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Avledet av funksjonen:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Telleren har to løsninger:

  # T_1 = sqrt (12,5) = 3,536 #

  # T_2 = -sqrt (12,5) = - 3,536 #

  Derfor er telleren:

  Negativt for #t i (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positivt for #t i (-3.536,3.536) #

• Nevneren er alltid positiv i # RR #, siden det er en kvadratrot.

  Til slutt er det gitt rekkevidde #-1,5#

Derfor er derivatet av funksjonen:

- Negativt for #t i -1,3.536) #

- Positive for #t i (3.536,5) #

Dette betyr at grafen først går opp fra #f (-1) # til #f (3,536) # og går deretter ned til #f (5) #. Dette gjør #f (3,536) # det absolutt maksimale og den største verdien av #f (-1) # og #f (5) # er absolutt minimum.

Absolutt maksimum er #f (3,536) #:

#f (3,536) = 3.536sqrt (25 til 3,536 ^ 2) = 12,5 #

For absolutt maksimum:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Derfor, #f (-1) = - 4,899 # er absolutt minimum.

Du kan se fra grafen under at dette er sant. Bare ignorere området igjen av #-1# siden det er ute av domenet:

graf {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}